例析动态视角下几何解题思路的形成过程.doc

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1、例析动态视角下几何解题思路的形成过程浙江舟山南海实验学校初中部张宏政、马力军（）翻阅一些数学杂志，常常看到有些几何问题的证明方法过于烦琐，有些证题思路技巧性又太强，让人一下子摸不着头脑。诚然，解题思路的获取与每个人的知识积累与思考问题的策略有一定的关系，而且多一个角度看问题也未尝不是好事，但作为一名数学教师，在平时讲解例题的过程中，应时刻把挖掘几何问题的本质，充分暴露思维的形成过程作为教学的重要任务，从这个意义上说，数学解题应追求简单自然。几何问题从本质上说就是验证从条件到结论的逻辑关系，因此，用动态的观点看待几何图形的生成过程，尝试用变与不变的逻辑关系分析已知与结论的关系，有助于更好的

2、暴露问题的本质，有效发现解决问题的方法。为此，笔者试图以几本杂志上解答的几道竞赛题为例,用上述方法作一些必要的剖析与对比。一孔之见，敬请批评指正！1问题呈现例1（07年第六届女子数学奥林匹克竞赛第5题）如图1，设D是△ABC内一点,满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E是BC边的中点，F是AC边的三等分点，满足AF=2FC.求证：DE⊥EF。文[1]给出了两种解法，一种是平面几何的证法，另一种是向量法，本文只探讨平面几何的证法,证法如下：证明：如图2,作DM⊥AC于M,FN⊥CD于N,连结EM，EN.设CF=,AF=,易知CM=，故CD==，则CN=CF,即N是CD的中点.

3、又因为M是AC边上的中点,E是BC边上的中点,故EM∥AB,EN∥BD,得∠MEN=∠ABD=60°=∠MDC,故M,D,E,N四点共圆.又显然有D,M,F,N四点共圆,所以D,E,F,M,N五点共圆.从而∠DEF=90°.例2如图3,在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点作圆交BD于E，过B、C、D三点作圆交CA延长线于F.求证:.[2]原解答如下:连结AE、CE，则∠1=∠3，∠2=∠ABD=∠4，于是△ACE∽△BDC.所以,则.而A、B、C、E四点共圆，由“ptolemy”定理可得:,将上面各式代入可得(AB=CD),,所以,(1)同理连接BF、DF，可证得，（2）由（1）、（

4、2）可得：.例3如图4,在中,∠B=90°,AB=BM=12,DM∥AB,又N为BM的中点,且∠ADN=∠BAD.(1)求证:;(2)求.文[3]给出的解答如下:(1)如图5,作∠TBA=∠C.由∠ADN=∠BAD,则∠CDN=∠BAT.故△CDN∽△BAT.所以,,即,又∠C=∠C,∠CND=∠ATB,所以,△CDN∽△CBT.故,即.因此,.(2)因为N为BM的中点,则BN=MN=6.又DM∥AB,所以,∠DMB=90°.如图5,过点A作AG⊥MD交MD的延长线于点G,延长DN交AB的延长线于点F,设E为AD的中点,联结EF.因为∠ADN=∠BAD,所以,EF⊥AD.因为∠ABC=∠

5、DMB=∠AGD=90°,AB=BM=12,所以,四边形ABMG为正方形.由于∠GAD=∠AFE,所以,△AGD∽△FEA.故,即(1)设,则.由勾股定理,有.代入(1)式,得,.解得.因此,=.2动态视角下问题思路的形成过程分析下面我们从动态视角下着力分析这些问题的来龙去脉，以尽可能揭示问题的本质，并得到问题解决的方法.先来看对例1的分析!图6如图6,当等腰△ADC确定后，F点的位置也随之确定，而E点的位置依赖于B点的确定，而由条件可知，B点显然在以AD为弦且弧度为240°的部分优弧上运动。先来考察B点的特殊位置（本问题的极端情形），当B点运动到如图B’点位置时（即△AB’D为等边△的

6、情形）,易知∠B’DA+∠ADC=180°，故B’、D、C在同一条直线上,且B’D=DC=AD,所以∠B’AC=90°，这时E点也即为D点。再来考察任意的点B,这时马上发现，虽然B点的位置在变，但DE是△CBB’的中位线却是不变因素,于是BB’∥DE,由于易知∠B’BG=90°(G为弧AD与AC的交点),所以只需证BG∥EF,这样问题就归结到证明G是否为AC的另一点三等份点,而这由∠AGB’=∠ADB’=60°,则在中,有AG=；又∠GB’C=∠DAC=∠ACD,有B’G=GC,故AG=可得.同时通过不变因素还容易发现,当B点在弧AB’上运动时,结论同样成立.例2如图7，从结论分析，这是

7、一个通过相似△寻求比例线段关系的问题。那么，从条件分析，虽然平行四边形的大小、位置在变，使两个圆的大小、位置也在变，但它们的性质却是不变因素，于是这些不变因素应该就是问题解决的突破口.于是从∠1=∠2=∠3=∠F，易知△BAO∽△FBO，△CEO∽△DCO，从而有.考虑到与结论的相异性,可把结论调整为:,即证,也即为.考虑到,即为.而这就是上面两个等式相加的结果.例3如图8,从条件分析,AB、BM、N点惟一确定，而D点是由过M点且平