考研数学 1习题课课件.ppt

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1、（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一、主要内容函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数1.函数概念因变量自变量定义设数集，则称映射为定义D上的函数，通常简记为D称为定义域,记作,即.对每个,按对应法则f,总有唯一确定的值y与之对应,这个值称为函数f在x处的函数值,记作f(x),即y=f(x).函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域,记作或f(D),即函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内.函数的两要素:定义域与对应法则f.如果两个函数的定义域相同,对应

2、法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.约定:定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义的一切实数值.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．例如:函数的分类函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)(1)函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1

3、有界性:(4)函数的周期性:函数sinx,cosx的周期是函数tanx的周期是（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个正数l,使得对周期函数的运算性质3.反函数(1)反函数的概念若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f的反函数.机动目录上页下页返回结束其反函数(减)1)y＝f(x)单调递增且也单调递增(减).（2）性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.机动目录上页下页返回结束指数函数例1求的反函数及其定义域.解

4、:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为4、隐函数5、基本初等函数1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函数5）反三角函数6、复合函数7、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质唯一性无穷小两者的关系无穷大1、极限的定义左极限右极限极限存在的充要条件：无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不

5、为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2、无穷小与无穷大无穷小与函数极限的关系:无穷小的运算性质定理1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.3、极限的运算法则定理推论1推论24、判定极限存在的准则(夹逼准则)(1)(2)5、两个重要极限定义:6、无穷小的比较定理(等价无穷小替换定理)7、等价无穷小的性质8、极限的唯一性的9、常用的等价无穷小:10、几个常用极限与几个极限不存在的例子11、求极限的常用

6、方法(1)多项式与分式函数代入法求极限;(2)消去零因子法求极限;(3)无穷小因子分出法求极限;(5)利用无穷小运算性质求极限;(7)有理化法（（8）利用重要极限；（9）通分法（）;(10)利用等价无穷小代换法；（11）利用变量代换法；(12)利用极限存在的准则；（13）利用连续性求极限(14)利用罗比达法则求极限.(6)利用左右极限求分段函数极限；左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类1、连续的定义定理3、连续的充要条件2、单侧连续4、

7、间断点的定义(1)跳跃间断点(2)可去间断点5、间断点的分类跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx0yx无穷型振荡型第二类间断点0yx第二类间断点6、闭区间的连续性7、连续性的运算性质定理定理1严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.定理28、初等函数的连续性定理3定理4基本初等函数在定义域内是连续的.定理5一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.9、闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上