平衡和稳定性模型.ppt

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1、平衡与稳定性模型稳定性模型对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。1捕鱼业的持续收获再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。问题及分析在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。背景产量模型假设无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模捕捞情

2、况下渔场鱼量满足不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件r~固有增长率,N~最大鱼量h(x)=Ex,E~捕捞强度x(t)~渔场鱼量一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡点设x(t)是方程的解，若从x0某邻域的任一初值出发，都有称x0是方程(1)的稳定平衡点不求x(t),判断x0稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程产量模型平衡点稳定性判断x0稳定,可得到稳定产量x1稳定,渔场干枯E~捕捞强度r~固有增长率产量模型在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大图解法

3、P的横坐标x0~平衡点y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标h~产量产量最大f与h交点Phmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半效益模型假设鱼销售价格p单位捕捞强度费用c单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.稳定平衡点求E使R(E)最大渔场鱼量收入T=ph(x)=pEx支出S=cEEsS(E)T(E)0rE捕捞过度封闭式捕捞追求利润R(E)最大开放式捕捞只求利润R(E)>0R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)Es=2ER临界强度下的渔场鱼量捕捞过度ERE*

4、令=0Discussion2种群的相互竞争一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。模型假设有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从Logistic规律;两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比;甲对乙有同样的作用。对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的1倍。对甲增长的阻

5、滞作用，乙大于甲乙的竞争力强模型模型分析(平衡点及其稳定性)(二阶)非线性(自治)方程的平衡点及其稳定性平衡点P0(x10,x20)~代数方程的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有称P0是微分方程的稳定平衡点模型判断P0(x10,x20)稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程平衡点P0稳定(对2,1)p>0且q>0平衡点P0不稳定(对2,1)p<0或q<0仅当1,2<1或1,2>1时，P3才有意义模型平衡点稳定性分析平衡点Pi稳定条件：p>0且q>0种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定平衡点2>1,1>1,

6、P1,P2是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3是两种群共存的平衡点1<1,2<1P1稳定的条件1<1?1<12<1稳定条件0S1S2S3平衡点稳定性的相轨线分析从任意点出发(t=0)的相轨线都趋向P1(N1,0)(t)P1(N1,0)是稳定平衡点(1)2>1,1<1tx1,x2tx1,x2tx1,x2P1P2有相轨线趋向P1有相轨线趋向P2P1稳定的条件：直接法2>1P1,P2都不(局部)稳定0(3)1<1,2<10(2)1>1,2<10(4)1>1,2>1加上与(4)

7、相区别的1<1P2稳定P3稳定P1全局稳定结果解释对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的1倍。对甲增长的阻滞作用，乙小于甲乙的竞争力弱P1稳定的条件：1<1,2>12>1甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝P2稳定的条件：1>1,2<1P3稳定的条件：1<1,2<1通常11/2，P3稳定条件不满足Discussion3种群的弱肉强食(食饵-捕食者模型)种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。模型的历史背景

8、——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？食饵（甲）数量x(t),捕食者（乙）数量y(t)甲独立生存的增长率r乙使甲的增长率减小，减小量与y成正比乙独立生存的死亡率d甲使乙的死亡率减小，减小量与x成正比方程(1),(2)无解析解食饵-捕食者模型(Volter