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《课件三：曲面论基本定理.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§5.曲面论的基本定理通过上面几节的讨论,我们知道,给定曲面我们就可以得到它的两个基本形式：曲面的各种曲率完全由它的两个基本形式决定。因为曲率是用来描述曲面的形状的，所以如果我们知道了曲面的第一第二基本形式后,也就基本上知道了曲面的形状。现在提出这样的问形式完全确定？说得详细一点,如果给出了u,v的题：曲面在空间的形状是否由第一第二基本形式两个二次微分形式我们能否确定一个曲面使它的第一第二基本形式恰为上述所给出的两个微分形式？一般说来，这个反问题不可能有解。因为确定一个曲面需要三个函数x(u,v),y(u,v),z(u,v),而曲面的第一第二基本形式是由这三个函数确定的，也
2、即第一第二基本形式中的六个函数E(u,v),F(u,v),……N(u,v)有联系。反过来说如果这六个函数之间没有联系，就不可能确定一个曲面。y(u,v),z(u,v)。所以这六个函数只有三个是独立的。也就是说这六个函数之间有三个关系式。这一节的目的就是要寻找这三个关系式,称为高斯—科达齐—迈因纳尔迪公式，并将证明定理：给出两个二次微分形式，如果它们满足它的第一第二基本形式正好就是给定的两个二次微分形式.由六个函数确定一个曲面，就是确定三个函数x(u,v),高斯—科达齐—迈因纳尔迪条件,则存在一个曲面为了把一些式子表达的更有规律些，本节将采用以下一些新的记号，以后将同时采用这
3、一套符号和以前采用的记号。记5.1曲面的基本定理和克里斯托菲耳（Christoffer)符号在曲线论中，曲线的三个基本向量的导向量可以用三个基本向量来表出,即有伏雷内(Frenet)公式。在空间给出一个类曲面S：它确定了向量那么这三个向量的导向量能否由这三个向量表出呢？表出的系数是什么呢？结论对于,我们有这式称为曲面的基本方程。第一式称为高斯方程，第二是称为魏因加尔吞方程。其中称为第二类克里斯托菲耳符号，也记叫做第一类克里斯托菲耳符号。而证明我们设（*）下面我们确定这些式子的系数因此得（1）,简称克氏记号.而[ij,l]=作将(*)的第一式点乘因为对此式求导数得所以即：两边
4、左乘得即（*）下面确定（*）中第二式的用点乘（*）中第二式的两边得：,I,j=1,2因此（像求一样）得(2)将(1)(2)带入(*)即得所证关系式并且注：采用过去的记号：于是得六个系数如下：对于正交网来说，F=0,这时而在正交网下，F=0,可有下面的统一表达式5.2曲面的黎曼(Riemann)曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪(Gauss-Codazzi-Mainardi)公式第一类黎曼曲率张量定义为：一.黎曼(Riemann)曲率张量容易验证黎曼曲率张量满足下列恒等式：注I,j,k取值为1，2。后一等式中，下角码总有两个相等。所以由第一式可推出第二式，再推出第三式。第一类
5、黎曼曲率张量定义为：,m,I,j,k=1,2()二.Gauss-Codazzi-Mainardi公式命题（1）高斯公式：（2）科达齐-迈因纳尔迪公式证明对基本方程中的高斯方程求导数得：再把基本方程带入上式得类似的：所以是线性无关的向量，比较的系数得：因为曲面是类的，所以比较的系数得：命题得证。推论第一黎曼曲率张量满足以下恒等式：说明(1)由推论知，这16个分量中只有一个是独立的。事实上,由,独立的还有再由知，独立的只有。(2)科达齐-迈因纳尔迪公式中,j=k是恒等式,而j,k对调方程不变.故可令j=1,k=2,于是再依次令I=1,2即可知该公式中只包含两个独立式,即I=1,
6、j=1,k=2和I=2,j=1,k=2时的两个。因此，命题中一共包含三个独立关系式，也就是说，曲面的第一、第二基本形式中的系数应满足三个关式(即命题中的三个关系式）。(4)科达齐-迈因纳尔迪公式用基本量表示是：（3）由两种黎曼曲率张量的定义，两曲率张量都仅与第一基本形式的系数及其关于变量的导数有关（因为仅与第一基本量有关）,所以它们都是曲面的内在量。正交坐标网（F=0)下:即三.高斯定理高斯定理曲面的高斯曲率是内蕴量.(即曲的高斯曲率K被曲面的第一基本形式完全确定).证明由高斯公式（中的独立关系式）:故因都是内蕴量，故K是内蕴量。推论1两个曲面可以建立等距对应，则对应点的高
7、斯曲率相等。换言之，高斯曲率经等距变换不变。证明等距对应下，第一基本量不变，仅与第一基本量有关，故不变。故不变.推论2曲面可与平面建立等距对应充分必要条件是该曲面为可展曲面。证明充分性：即可展曲面中的命题5。必要性：曲面与平面建立等距对应，则由高斯定理曲面与平面的高斯曲率相等，都为零。而高斯曲率为零的曲面为可展曲面。推论得证。四.高斯曲率的另一计算公式（用第一基本量表示的）特别对曲面的正交网：F=0,所以这再一次证明高斯曲率是内蕴量。5.3曲面论的基本定理基本定理：设是给定的两个二次形式，其中是正定的。若和的系数和
