高中数学课本中的定理、公式、结论的证明.pdf

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1、数学课本中的定理、公式、结论的证明数学必修一第一章集合（无）第二章函数（无）第三章指数函数和对数函数1．对数的运算性质：如果a>0，a1，M>0，N>0，那么（1）log(MN)logMlogN；aaaM（2）loglogM-logN；aNaa（3）logMnnlogM(nR)．aa根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质证明：（性质1）设logMp，logNq，由对数的定义可得Map，Naq，aa∴MNapaqapq，∴log(MN)pq，a即证得logMNlogMlogN．aaa证明：（性质2）设logM

2、p，logNq，由对数的定义可得Map，Naq，aaMap∴apq，NaqM∴logpq，aNM即证得loglogM-logN．aNaa证明（性质3）设logMp，由对数的定义可得Map，a∴Mnanp，∴logMnnp，a即证得logMnnlogM．aa第四章函数应用（无）数学必修二第一章立体几何初步直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明．1、直线与平面平行的判定定理若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行．2、平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于

3、另一个平面，那么这两个平面平行．3、直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．4、平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．证明：设直线l的方向向量为a,平面，的法向量分别为u，r（建立立体几何问题与向量之间的联系），因为l，所以a

4、

5、r，即a=kr(kR)（把立体几何问题转化为空间向量问题）,又l，所以aua•u=0（把立体几何问题转化为空间向量问题），所以ku•r=0ur（把空间向量的结果转化为几何结论），所以平面

6、与平面互相垂直，5、直线与平面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行．6、平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．7、直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．另法8、平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面，如图所示:已知,=MN,AB在内，ABMN于B点。求证：AB.证明：在平面内做直线BCMN，则ABC是二面角-MN

7、-的平面角，Q，ABC=90o，ABBC又ABMN，AB9三垂线定理及逆定理a,a另法证明：已知：如图，直线l与平面相交与点A，l在上的射影OA垂直于求证：l⊥a证明：过P作PO垂直于∵PO⊥α∴PO⊥a又a⊥OA，PO∩OA=O∴a⊥平面POA∴a⊥l（三垂线定理的逆定理）若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则它垂直于这条直线在该平面内的投影第二章解析几何初步（无）数学必修三数学必修四第一章三角函数诱导公式公式：sin(）-sincos(）costan(）tan如图：设的终

8、边与单位圆（半径为单位长度1的圆）交y于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为P(x,y)P´(x，-y)．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x,sin(-)=-y,cos(-)=x,MOx所以：sin(-)=-sin,cos(-)=cosα由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-诱导公式，P′(x，-y)(4-5-2)sin(）-sincos(）-costan(）tan公式：它刻画了角+与角的正弦值（或余弦值）之间的关y系，这个关系是：以角终边的反向延

9、长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或余弦值）关系，设角终边圆P(x,y)180交于点P(x，y)，则角终边的反向延长线，即+角的终边M′与单位圆的交点必为P´(-x，-y)（如图4-5-1）．MOx由正弦函数、余弦函数的定义，即可得P′(x，-y)sin=y，cos=x,sin(+)=-y,cos(+)=-x,所以:sin(+)=-sin，cos(+)=-cos．(4-5-1)由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。相关诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值

10、相等：sin（2kπ+α）=sinαk∈zcos（2kπ+α）=cosαk∈ztan（2kπ+α）=tanαk∈z公式二：sin（π+α）=－sinαcos（π+α