高中数学课本中的定理、公式、结论的证明

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1、数学课本中的定理、公式、结论的证明数学必修一第一章集合（无）第二章函数（无）第三章指数函数和对数函数1．对数的运算性质：如果a>0，a¹1，M>0，N>0，那么（1）；（2）；（3）．根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质证明：（性质1）设，，由对数的定义可得，，∴，∴，即证得．证明：（性质2）设，，由对数的定义可得，，∴，∴，即证得．证明（性质3）设，由对数的定义可得，∴，∴，即证得．第四章函数应用（无）数学必修二第一章立体几何初步直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明．1、直线与平面平行的判定定理

2、若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行．2、平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．3、直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．4、平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．证明：设直线的方向向量为a,平面的法向量分别为u，r（建立立体几何问题与向量之间的联系），因为，所以a

3、

4、r，即a=r()（把立体几何问题转化为空间向量问题）,又所以auau=0（

5、把立体几何问题转化为空间向量问题），所以ur=0ur（把空间向量的结果转化为几何结论），所以平面与平面互相垂直，5、直线与平面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行．6、平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．7、直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．另法8、平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面，9三垂线定理及逆定理另法证明

6、：已知：如图，直线与平面相交与点A，在上的射影OA垂直于　　求证：⊥　　证明：过P作PO垂直于　　∵PO⊥α　　∴PO⊥　　又⊥OA，PO∩OA=O∴⊥平面POA　　∴⊥　（三垂线定理的逆定理）若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则它垂直于这条直线在该平面内的投影第二章解析几何初步（无）数学必修三数学必修四第一章三角函数诱导公式公式：如图：设的终边与单位圆（半径为单位长度1的圆）交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为P´(x，-y)．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x,sin(-)

7、=-y,cos(-)=x,所以：sin(-)=-sin,cos(-)=cosα由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-诱导公式，公式：它刻画了角+与角的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或余弦值）关系，设角终边圆交于点P(x，y)，则角终边的反向延长线，即+角的终边与单位圆的交点必为P´(-x，-y)（如图4-5-1）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x,sin(+)=-y,cos(+)=-x,所以:sin(+)=-sin，co

8、s(+)=-cos．由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。相关诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinαk∈zcos（2kπ+α）=cosαk∈z　tan（2kπ+α）=tanαk∈z公式二：sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanα公式三：sin（－α）=－sinα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanα公式

9、五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：　sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosα　tan（2π－α）=－tanα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：　sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotα　sin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotα第二章平面向量1、共线向量定理（p82例3）内容：如图A,B,C为平面内的三点，且A,B不重合，点P为平面内任一点，若C在直线AB上，

10、则有证明：由题意，与共线，化简为：2、平面向量基本定理(p83)内容：如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量，存在唯一一对实数，使得证明：如图过平面内一点O，作，过点C分别作直线OA和直线OB的平行线，交OA于点M，交OB于点N，有且只有一组实数，使得即3、平行向量定理（p88）内容：若两