复数讲义(绝对经典).pdf

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1、。复数一、复数的概念1．虚数单位i:（1）它的平方等于1，即i21；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i与－1的关系:i就是1的一个平方根，即方程x21的一个根，方程x21的另一个根是-i．（4）i的周期性：i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1．实数a(b0)2．数系的扩充：复数abi纯虚数bi(a0)虚数abi(b0)非纯虚数abi(a0)3．复数的定义：形如abi(a，bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部．全

2、体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示4．复数的代数形式:通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，把复数表示成abi的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a，bR)，当且仅当b0时，复数abi(a，bR)是实数a；当b0时，复数zabi叫做虚数；当a0且b0时，zbi叫做纯虚数；当且仅当ab0时，z就是实数06．复数集与其它数集之间的关系：N苘ZQ苘RC7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a，a，，

3、bd，c，dR，那么abicdiac，bd-可编辑修改-。二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数zabi(a，bR)与有序实数对a，b是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi(a，bR)可用点Za，b表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0，0，它所确定的复数是z00i0表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3

4、．复数zabi一一对应复平面内的点Z(a，b)这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数z与z的和的定义：12zzabicdiacbdi122．复数z与z的差的定义：12zzabicdiacbdi123．复数的加法运算满足交换律:zzzz12214．复数的加法运算满足结合律:(zz)zz(zz)1231235．乘法运算规则：设zabi，zcdi(a、b、c、dR)是任意两个复数，12那

5、么它们的积zzabicdiacbdbcadi12其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6．乘法运算律：（1）zzzzzz123123（2）(zz)zz(zz)123123（3）zzzzzzz12312137．复数除法定义：满足cdixyiabi的复数xyi(x、yR)叫复数abi除以复数cdi的商，记为：-可编辑修改-。abi(abi)cdi或者cdi8．

6、除法运算规则：设复数abi(a、bR)，除以cdi(c，dR)，其商为xyi（x、yR)，即(abi)cdixyi∵xyicdicxdydxcyi∴cxdydxcyiabiacbdxcxdyac2d2由复数相等定义可知，解这个方程组，得，dxcybbcadyc2d2cdiacbdbcad于是有:(abi)ic2d2c2d2abi②利用cdicdic2d2于是将的分母有理化得：cdiabi(a

7、bi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i原式cdi(cdi)(cdi)c2d2(acbd)(bcad)iacbdbcadi．c2d2c2d2c2d2∴((abi)cdiacbdbcadic2d2c2d2点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数cdi与复数cdi，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而cdicdic2d2是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分

8、母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．-可编辑修改-