复数讲义(绝对经典~)

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2、复数一、复数的概念1．虚数单位i:（1）它的平方等于，即；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i与－1的关系:i就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i．（4）i的周期性：，，，．2．数系的扩充：复数3．复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示4．复数的代数形式:通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当

3、且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数6．复数集与其它数集之间的关系：7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，，，，那么，

4、二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数．除了原点外，虚轴上

5、的点都表示纯虚数．3．复数复平面内的点这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数与的和的定义：2．复数与的差的定义：3．复数的加法运算满足交换律:4．复数的加法运算满足结合律:5．乘法运算规则：设，(、、、)是任意两个复数，那么它们的积其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6．乘法运算律：（1）（2）（3）7．复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：

6、或者1．除法运算规则：设复数

7、(、)，除以(，)，其商为（、)，即∵∴由复数相等定义可知解这个方程组，得于是有:②利用于是将的分母有理化得：原式．∴(点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为是有理数，而是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分母实数化法．2．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数．

8、例题精讲1．复数的概念【例1】已知为虚数单位），那么实数a，b的值分别为（）A

9、．2，5B．-3，1C．-1．1D．2，【答案】D【例2】计算：（表示虚数单位）【答案】【解析】∵，而（），故【例3】设，，则下列命题中一定正确的是（　　）A．的对应点在第一象限B．的对应点在第四象限C．不是纯虚数D．是虚数【答案】D【解析】．【例4】在下列命题中，正确命题的个数为（　　）①两个复数不能比较大小；②若是纯虚数，则实数；③是虚数的一个充要条件是；④若是两个相等的实数，则是纯虚数；⑤的一个充要条件是．⑥的充要条件是．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】复数为实数时，可以比较大小，①错；时，，②错；为实数时，也有

10、，③错；时，，④错；⑤⑥正确．2．复数的几何意义

11、【例1】复数（，为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】由已知在复平面对应点如果在第一象限，则，而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．【例2】若，复数在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】结合正、余弦函数的图象知，当时，．【例3】如果复数满足，那么的最小值是（）A．1B．C．2D．【答案】A【解析】设复数在复平面的对应点为，因为，所以点的

12、集合是轴上以、为端点的线段．表示线段上的点到点的距离．此距离的最小值为点到点的距离，其距离为．【例4】满足及的复数的集合是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】复数表示的点在单位圆与直线上（表示到点与点的距离相等，故轨迹为直线），故选D．

13、【例1】已知复数的模为，则的最大值为_______．【答案】【解析】，，故在以为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知的最大值为．【例2】复数满足条件：，那么对应的点的轨迹是（　　）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】A【解析】A；设，则有，，化简得

14、：，故为圆．【点评】①的几何意义为点到点的距离；②中所对应的点为以复数所对应的点为圆心，半径为的圆上的点．【例3】复数，满足，，证明：．【解析】设复数，在复平面上对应的点为，，由知，以，为邻边的平行四边形为矩形，，故可设，所以．也可设，则由向量与向量垂直知，，故