复数讲义(绝对经典)

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1、...复数一、复数的概念1.虚数单位i:(1)它的平方等于,即;(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.(3)i与-1的关系:i就是的一个平方根,即方程的一个根,方程的另一个根是-i.(4)i的周期性:,,,.2.数系的扩充:复数3.复数的定义:形如的数叫复数,叫复数的实部,叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集,用字母表示4.复数的代数形式:通常用字母表示,即,把复数表示成的形式,叫做复数的代数形式.5.复数与实数、虚数、纯虚数及的关系:对于复数,当且仅当时,复数是实数;当时,复数叫做虚数;当且时,叫做纯虚数;当且仅当时,就是实数6.复数集与其

2、它数集之间的关系:7.两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果,,,,那么,......二、复数的几何意义1.复平面、实轴、虚轴:复数与有序实数对是一一对应关系.建立一一对应的关系.点的横坐标是,纵坐标是,复数可用点表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.2..对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为,它所确定的复数是表示是实数.除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.3.复数复平面内的点这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何

3、表示方法.三、复数的四则运算1.复数与的和的定义:2.复数与的差的定义:3.复数的加法运算满足交换律:4.复数的加法运算满足结合律:5.乘法运算规则:设,(、、、)是任意两个复数,那么它们的积其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把换成,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.6.乘法运算律:(1)(2)(3)7.复数除法定义:满足的复数(、)叫复数除以复数的商,记为:......或者1.除法运算规则:设复数(、),除以(,),其商为(、),即∵∴由复数相等定义可知解这个方程组,得于是有:②利用于是将的分母有理化得:原式.∴(点评:①是常规方法,②是

4、利用初中我们学习的化简无理分式时,都是采用的分母有理化思想方法,而复数与复数,相当于我们初中学习的的对偶式,它们之积为是有理数,而是正实数.所以可以分母实数化.把这种方法叫做分母实数化法.2.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数.......例题精讲1.复数的概念【例1】已知为虚数单位),那么实数a,b的值分别为()A.2,5B.-3,1C.-1.1D.2,【答案】D【例2】计算:(表示虚数单位)【答案】【解析】∵,而(),故【例3】设,,则下列命题中一定正确的是(  )A.的对应点在第一象限B.的对应点

5、在第四象限C.不是纯虚数D.是虚数【答案】D【解析】.【例4】在下列命题中,正确命题的个数为(  )①两个复数不能比较大小;②若是纯虚数,则实数;③是虚数的一个充要条件是;④若是两个相等的实数,则是纯虚数;⑤的一个充要条件是.⑥的充要条件是.A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】复数为实数时,可以比较大小,①错;时,,②错;为实数时,也有,③错;时,,④错;⑤⑥正确.2.复数的几何意义......【例1】复数(,为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】由已知在复平面对应点如果在第一象限,则,而此不等式组无解.即

6、在复平面上对应的点不可能位于第一象限.【例2】若,复数在复平面内所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】结合正、余弦函数的图象知,当时,.【例3】如果复数满足,那么的最小值是()A.1B.C.2D.【答案】A【解析】设复数在复平面的对应点为,因为,所以点的集合是轴上以、为端点的线段.表示线段上的点到点的距离.此距离的最小值为点到点的距离,其距离为.【例4】满足及的复数的集合是()A.B.C.D.【答案】D【解析】复数表示的点在单位圆与直线上(表示到点与点的距离相等,故轨迹为直线),故选D.......【例1】已知复数的模为,则的最大值为___

7、____.【答案】【解析】,,故在以为圆心,为半径的圆上,表示圆上的点与原点连线的斜率.如图,由平面几何知识,易知的最大值为.【例2】复数满足条件:,那么对应的点的轨迹是(  )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】A【解析】A;设,则有,,化简得:,故为圆.【点评】①的几何意义为点到点的距离;②中所对应的点为以复数所对应的点为圆心,半径为的圆上的点.【例3】复数,满足,,证明:.【解析】设复数,在复平面上对应的点为,,由知,以,为邻边的平行四边形为矩

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