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1、一个方程的情形方程组的情形小结(implicitfunction)第五节隐函数的求导公式第八章多元函数微分法及其应用1隐函数在实际问题中是常见的.平面曲线方程空间曲面方程空间曲线方程下面讨论如何由隐函数方程如求偏导数.隐函数的求导公式2在一元函数微分学中,现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1)的求导法.并指出:曾介绍过隐函数的求导公式,隐函数存在的一个充分条件.隐函数的求导公式一、一个方程的情形3隐函数存在定理1隐函数的求导公式设二元函数的某一邻域内满足:在点则方程的某一邻域内并有(1)具有连续偏导数;它满足条件在点隐函数的求导公式(2)(3)恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函
2、数(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边关于x求导,由全导数公式,得4或简写:于是得隐函数的求导公式所以存在的一个邻域,在这个邻域内5如,方程记(1)的邻域内连续;所以方程在点附近确定一个有连续导数、且隐函数的求导公式由隐函数存在定理1的隐函数则(2)(3)6解令则隐函数的求导公式例7则方程内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的并有具有连续偏导数;若三元函数的某邻域内函数它满足条件在点在点2.由三元方程确定二元隐函数隐函数存在定理2隐函数的求导公式的某一邻域(1)(2)(3)满足:8隐函数的求导公式(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边分别对x和y求导,应用复合函数求导法得是方程所确定
3、的隐设函数,则所以存在的一个邻域,在这个邻域内因为连续,于是得9例解则令隐函数的求导公式10将注再一次对y求偏导数,得对复合函数求高阶偏导数时,需注意:导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法.隐函数的求导公式11例设有隐函数,其中F的偏导数连续,求解令用复合函数求导法法一由公式.隐函数的求导公式12将隐函数方程两边取全微分,即故从而此法步骤清楚法二利用全微分.求得隐函数的求导公式13将方程两边求导.对x求偏导:uv即同理可求得z是x,y的函数!法三隐函数的求导公式(或利用对称性,上式中141991年研究生考题,填空,3分解法一用公式隐函数的求导公式15法
4、二用全微分得隐函数的求导公式16解令则练习整理得1.2.隐函数的求导公式把z看成x,y的函数对x求偏导数,得把x看成y,z的函数对y求偏导数,得17),(xyzzyxfz++=整理得整理得3.隐函数的求导公式把y看成x,z的函数对z求偏导数,得18下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的确定两个二元函数求隐函数存在定理3.请看课本第34页,故由方程组求导方法.隐函数的求导公式二、方程组的情形(隐函数组)19将恒等式两边关于x求偏导,解这个以为未知量的线性方程组,由链导法则得:隐函数的求导公式求20解得当系数行列式不为零时,即雅可比行列式Jacobi,C.G.j.(德)1804-1851隐
5、函数的求导公式21同理,两边关于y求偏导,得隐函数的求导公式求22特如果方程组它可能确定两个现假定它确定且两个函数都则求的方法同前面求的方法相同.为可微,别一元函数,隐函数的求导公式23例解分析直接代入公式；法一令隐函数的求导公式24隐函数的求导公式25隐函数的求导公式26方程组两边对x求导得运用公式推导的方法.法二注意隐函数的求导公式27例设方程组确定函数解直接代入公式；运用公式推导的方法.原方程组两边分别对法二法一x求偏导数：隐函数的求导公式u与v都视为x,y的二元函数28解方程组得移项得：隐函数的求导公式29(以下三种情况)隐函数的求导法则隐函数的求导公式三、小结30习题8-5
6、(37页)4.6.7.8.10.(2)(3)(4)11.隐函数的求导公式作业31
