《隐函数的求导公式》PPT课件

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1、第五节隐函数的求导公式第九章(DerivationofImplicitFunction)一、一个方程的情形二、方程组的情形三、小结与思考练习7/15/20211本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程当C<0时,能确定隐函数;当C>0时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性及求导方法问题.7/15/20212一、一个方程的情形定理1设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足②③满足条件导数7/15/20213两边对x

2、求导在的某邻域内则7/15/20214在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数并求例1验证方程解:令连续,由定理1可知,①导的隐函数则②③在x=0的某邻域内方程存在单值可且7/15/202157/15/20216两边对x求导两边再对x求导令x=0,注意此时—利用隐函数求导导数的另一求法7/15/20217若函数的某邻域内具有连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确定理27/15/20218两边对x求偏导同样可得则7/15/20219解法1利用隐函数求导再对x求导例2设7

3、/15/202110设则两边对x求偏导解法2利用公式7/15/202111二、方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由F,G的偏导数组成的行列式称为F,G的雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即7/15/202112的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组③的单值连续函数且有偏导数公式:①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；定理37/15/202113定理证明略.仅推导偏导数公式如下：7/15/202114有隐函数组则两边对x求导得设方程组二元线性代数方程组解的公式在点P的某邻域内故得系数行列式7/15/202115同样可

4、得7/15/202116分析：此题可以直接用课本中的公式（6）求解，但也可按照推导公式（6）的方法来求解.下面用后一种方法求解.7/15/2021177/15/202118解：7/15/202119内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.代公式思考与练习1.设求7/15/202120解法1:7/15/202121由dy,dz的系数即可得解法2：利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.7/15/202122分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,2.设解:两个隐函数方程两边对x求导,得(2001考研)解得因此7/1

5、5/202123是由方程和所确定的函数,求解法1分别在各方程两端对x求导,得(99考研)3.设7/15/202124对各方程两边分别求微分:化简得消去可得解法2微分法.7/15/202125雅可比(1804–1851)德国数学家.他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分中.他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.7/15/202126二元线性代数方程组

6、解的公式解:7/15/202127