概率与数理统计-1-4 几何概率、公理化定义课件.ppt

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1、一、几何概型三、小结第四节几何概型和概率的公理化定义二、概率的公理化定义把有限个样本点,推广到无限个样本点的场合,人们引入了几何概型。由此形成了确定概率的另一方法----几何方法。概率的古典定义具有可计算性的优点，但它也有明显的局限性。要求样本点有限，如果样本空间中的样本点有无限个,概率的古典定义就不适用了。一、几何概型定义1.5若一个随机试验E,E的每个样本点的出现都是等可能的；E的样本空间S所含的样本点个数有无穷多个,且具有非零的、有限的几何度量，即0＜m(S)＜∞,则称该随机试验E为几何概型的随机试验。定义1.6当随机试验的样本空间是某个区域并且任意一点落在度量(长度、

2、面积、体积)相同的子区域是等可能的,则事件A的概率定义为：其中,m(S)是对样本空间的度量,m(A)是构成事件A的子区间的度量.这样借助于几何上的度量来合理规定的概率称为几何概率.说明:当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型。p(A)=几何概率的性质：(1)对任一事件A,有一样,我们分别称(1)、(2)、(3)式为概率的非负性、规范性和可列可加性。(2)p(S)=1,p(Φ)=0；那末两人会面的充要条件为例1甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面。先到的人等候另一个人,经过时间t(t

3、到达的时刻互不相关.求甲、乙两人能会面的概率。约会问题解:图：从右图即得所求的概率若以x,y表示平面点的坐标,则得问题的求解蒲丰投针试验例21777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为a(>0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为b(

4、4080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smith3.1596253250000.81850Wolf相交次数投掷次数针长时间试验者利用蒙特卡罗(Monte-Carlo)法(一种测试算法),进行计算机模拟(),有下述训练结果:Ω1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构,给出了概率的严格定义,使概率论进入了数学的轨道并且有了迅速的发展。二、概率的公理化定义与性质1.定义1.7(概率的公理化定义)说明:在第五章我们将证明,故

5、可用定义1.7中的P(A)以表征事件A的概率.n→∞n(1)非负性对于每一事件A,有0≤P(A)≤1；证明:令由概率的可列可加性,得2.性质概率的有限可加性证明:由概率的可列可加性得证明:证明:逆事件的概率推论对于任一事件A,P(A)≤1.证明：由AS及(3)即知P(A)≤P(S)=1.证明:由图可得又由性质3得因此得推广三个事件和的情况n个事件和的情况解：例1SSABABS例2解：于是且=(另4双中取2双,之一的左配另一的左,另一的右;这一的右配另一的左和另一的右)+另解：2.最简单的随机现象古典概型古典概型概率计算几何概型试验结果连续无穷三、小结1.频率(波动)概率(稳定

6、).3.概率的公理化定义：非负性；规范性；可列可加性.(S上集合函数P(·)满足)P(A)==A中包含的样本点数S中的样本点总数4.概率的主要性质P(S)=1,P(Φ)=0；例4甲、乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车,又这段时间内有四班公共汽车它们的开车时刻分别为1:15、1:30、1:45、2:00.如果它们约定见车就乘，假定甲乙两人到达车站的时刻是互不相关的,且每人在1时到2时的任何时刻到达车站是等可能的,求甲乙同乘一车的概率。见车就乘的概率为设x,y分别为甲、乙两人到达的时刻,则有解：如图所示：Born:25April1903inTambov,Tambovp

7、rovince,RussiaDied:20Oct1987inMoscow,Russia柯尔莫哥洛夫资料AndreyNikolaevichKolmogorov蒲丰资料Born:7Sept1707inMontbard,Côted'Or,FranceDied:16April1788inParis,FranceGeorgesLouisLeclercComtedeBuffon作业：在线段AB上有一点C介于A,B之间,线段AC=a的长度大于线段BC=b的长度.在线段AC上随机地取一点X,在线段BC上随机地取一点Y,