桁架有限元分析课件.ppt

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1、空间杆系有限元法也称空间桁架位移法。空间杆系有限元法是计算精度最高的一种方法，适用于各种类型、各种平面形状、不同边界条件的网架，静力荷载、地震作用、温度应力等工况均可计算。能考虑网架与下部支承结构的共同工作。计算程序见下表。3.4空间杆系有限元法网架杆件节点位移单元刚度矩阵总刚度矩阵总刚度方程节点位移值杆件内力单元内力与节点位移间关系引入边界条件节点平衡及变形协调条件基本单元基本未知量3.4.1网架计算基本假定网架的节点为空间铰接节点，杆件只承受轴力；结构材料为完全弹性，在荷载作用下网架变形很小，符合小变形理论。奥运会场馆鸟巢

2、3.4.2单元刚度矩阵一等截面空间桁架杆件ij如图所示，设局部直角坐标系为，轴与ij杆平行。图3.24ij杆的杆端轴力和位移局部直角坐标下杆端力向量为：杆端位移向量为：杆端力和位移的关系可写为结构分析中为方便杆端力和位移的叠加，应采用统一坐标系，即结构整体坐标xyz。这样需对局部坐标系下的单元刚度矩阵进行坐标转换。图3.25杆件在整体坐标中整体坐标坐标转换设杆件ij（即轴）与整体坐标x，y，z轴夹角的余弦分别为l，m，n。由图25所示的几何关系可以得出式中lij——ij杆的长度奥运会场所令分别表示杆件ij在整体坐标系中的节点力

3、，节点位移和单元刚度矩阵。在整体坐标系中ij杆节点力和节点位移间的关系力为：两坐标系之间的转换关系为式中[T]——坐标转换矩阵坐标轴的旋转变换和几何关系可导出：并注意到[T]-1=[T]T，得到整体坐标下ij杆节点力和位移的关系为：得到杆件ij在整体坐标系中的单刚矩阵：3.4.3结构总刚度矩阵及总刚度方程建立了杆件单元刚度矩阵之后，即可按照变形协调及节点内外力平衡条件建立结构的总刚度矩阵及相应的总刚度方程。对公式变换为：{Fi}，{Fj}——分别为杆件ij在整体坐标系下i，j点的杆端力列阵；{δi}，{δj}——分别为杆件ij

4、在整体坐标系下i，j点的位移列阵；[Kij]，[Kjj]——分别为杆件ij在i端，j端发生单位位移时，在i端，j端产生的内力；[Kij]，[Kjj]——分别为杆件ij在j端，i端发生单位位移时，在i端，j端产生的内力。以图26所示的空间桁架节点3为例，说明总刚矩阵及总刚方程的建立。该桁架共有9个单元，5个节点，单元及节点编号如图示。相交于节点3的杆件有⑥⑦⑧⑨。图3.26单元及节点编号变形协调条件为连于同一节点上的杆端位移相等，即：内外力平衡条件为汇交于同一节点的杆端内力之和等于该节点上的外荷载，即：连于节点3的杆端力与各节点

5、位移关系为：整理得：上式就是节点3得内外力平衡方程，对网架中得所有节点，逐点列出平衡方程，联立起来便为结构踪刚度方程，表达式为：对于本例，总刚度矩阵中的第7行至第9行的元素表示如下：总刚矩阵具有下列特点：矩阵具有对称性，计算时不必将所有元素列出，只列出上三角或下三角即可。矩阵具有稀疏性。网架结构每一节点所连杆件数量有限，总刚矩阵中除主对角及其附近元素为非零元素外，其余均为零元素。非零元素集中在主对角线两旁的带状区域内，计算机存贮时，按一维变带宽存放，可有效节省计算机容量，带宽大小与网架节点编号有关，进行网架节点编号时，应尽可能

6、使各相关节点号差值缩小。3.4.4总刚矩阵中边界条件的处理方法未引入边界条件前，总刚矩阵[K]是奇异的，不能进行求解。引入结构边界条件消除刚体位移后，总刚矩阵为正定矩阵。位移为零弹性约束指定位移处理方法3.4.5网架的边界条件及对称性利用(1)对称性利用当网架结构(包括支座)和外荷载有n个对称面时，可利用对称条件只分析网架的1／2n。计算时，对称面内各杆件的截面积应取原截面面积的一半，n个对称面交线上的中心竖杆，其截面面积应取原截面面积的1／2n。对称面内节点荷载亦应按相同原则取值。在对称荷载作用下，对称面内网架节点的反对称位

7、移为零，计算时应在相应方向予以约束。与对称面相交的杆件，分析时可将该交点作为一个节点，并在三个方向予以约束。交叉腹杆或人字形腹杆的交叉点，位于对称面时，亦应作为一个节点，并在两个水平方向予以约束。在反对称荷载作用下，对称面内网架节点的对称位移应取为零。(2)边界条件有限元计算中，边界条件将对网架结构内力及变形产生较大影响。网架支承处的边界条件既和支座节点构造有关，也和支承结构的刚度有关，支座可以是无侧移、单向可侧移和双向可侧移的铰接支座，支承结构(柱、梁等)可以是刚性或弹性的。当支承结构刚度很大可忽略其变形时，边界条件完全取决

8、于支座构造。无侧移铰接支座，支承节点在竖向，边界线切线和法向都无位移。单向可侧移支座，竖向和边界切线方向位移为零，而边界法向为自由。双向可侧移的铰接支座，只有竖向位移为零，两个水平方向都为自由。在网架的四角处，至少一个角上的支座必须是无侧移的，相邻的两角可以是单向可侧移的，相