六年级奥数-第四讲几何-平面部分教师版.pdf

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1、第四讲平面几何部分知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；SS12AB两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；ab如右图S:Sa:b12SS③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；△ACD△BCDCD反之，如果SS，则可知直线AB平行于CD．△ACD△BCD④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积

2、比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则S:S(ABAC):(ADAE)△ABC△ADEDAADEEBCBC图⑴图⑵三、蝴蝶定理D任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①S:SS:S或者SSSS②AO:OCSS:SSAS1243132412431S蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面

3、积问题的一个途径．通过构造S42O模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；S另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．3梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：BCaAD①S:Sa2:b2S131②S:S:S:Sa2:b2:ab:ab；S2S41324O③S的对应份数为ab2．S3BCb四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型AEFDADFEBGCBGCADAEDEAF①；ABACBCAG②S：SAF2:AG2．△ADE△ABC所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三

4、角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、燕尾定理在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S:SBD:

5、DC．AABOACO上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着E广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的F三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.O典型例题【例1】如图，正方形ABCD的边长为6，AE1.5，CF2．长方形EFGH的BDC面积为．_H_H_A_D_A_D_E_E_G_G_B_B_F_C_F_C【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二

6、倍．三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，S661.5622624.54216.5,所以长方形EFGH面积为33．△DEF【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？_E_E_A_B_A_B_F_F_D_G_C_DG_C_【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG．(我们通过△ABG把这两个长

7、方形和正方形联系在一起)．1∵在正方形ABCD中，SABAB边上的高，△ABG21∴SS(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)△ABG2WABCD1同理，SS．△ABG2EFGB∴正方形ABCD与长方形EFGB面积相等．长方形的宽88106.4(厘米)．【例2】长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？AHDEGBFC【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：AHDEGBFC111可得：SS、SS、SS，而S

8、SSS36EHB2AHBFHB2CHBDHG2DHCABCDAHBCHBCHD11即SSS(SSS)3618；EHBBHFDHG2AHBCHBCHD211111而SSSSS，SBEBF(AB)(BC)364.5．EHBBHFDHG