六年级奥数-第四讲几何-平面部分教师版2~A341C

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1、D图⑵三.蝴蝶定理任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）：@5,:52=54:53或者②A0:0C=©+S2）:（Sa+S3）蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对命线的比例关系.梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）：①S}S.=a2b2②S}:S3:S2:S4=a2:b2:ab:ab③S的对应份数为（d+b）lDSaASOS3BC四.相似模型（一）金字塔模型（二）沙漏模型第四讲平面几何部分教学目标

2、：1.熟练掌握五大面积模型2.掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图Sl:S2=a:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图5碍=/血反之，如果则可知直线A3平行于CD・④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.二、鸟头

3、定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在△ABC中，分别是上的点如图⑴（或£＞在B4的延长线上，E在AC上），则S△脑c:Side=(43xAC):(ADxAE)①BC=af2：ag2.所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；（3

4、）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、燕尾定理在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点0,那么S^B0:SMC0=BD:DC.上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为AAB0和MC0的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三

5、角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例1】如图，正方形ABCD的边长为6,AE=.5,CF=2.长方形EFGH的面积为【解析】连接DE,DF,则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍.三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，Ssef=6x6-1.5x64-2-2x64-2-4.5x44-2=16.5,所以长方形EFGH韻积为33.【巩固】如图所示，正方形ABCQ的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米?【解析】本题主要是让学生会运用等底

6、等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.证明：连接AG.（我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）.•••在正方形ABCD中，=yxABxAB边上的高，S、ABG=~2^（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）同理'S=㊁SEFGB-•••正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.长方形的宽=8x8-10=6.4（厘米）.EGHD【例2】长方形ABCD的面积为36c/n2,E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点,问阴影部分面

7、积是多少？BFC【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC,如下图：EGBFCAHDCHB、可得：SEHB~、S'FHB=qSg/8、Sqhg=^DHC，而ABCD=+^^CHB+SQD=%即S、ehb+Sabhf+Sqhg~mhb+S、chb+S、chd)=X36=18；而S业朋+S乂刖+S^)hg=S阴彫+S吐bf‘Smbf=xBExBF=—x(~xAB)x(—xBC)=—x36=4.5.所以阴影部分的面积是：S阴影=18—S伽尸=18-4.5=13.5解法二：特殊点法.找H的特殊点，把丹点与D点重合，D(H)GE

8、那么图形就可变成右图：BFC这样阴影部分的面积就是ADEF的面积，根据鸟头定理，则有：S阴影=Sabcd~九血-S^bef~S&cfd=36--x—x36-—X^x^-x36-^x^-x36=13.5【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P,将正方形的