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时间:2020-08-03
《中考数学函数综合题题型 .pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、二次函数综合题型精讲精练主讲:杨老师题型一:二次函数中的最值问题例1:如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣2,﹣4),O(0,0),B(2,0)三点.(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.解析:(1)把A(﹣2,﹣4),O(0,0),B(2,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c中,得解这个方程组,得a=﹣,b=1,c=0所以解析式为y=﹣x2+x.(2)由y=﹣x2+x=﹣(x﹣1)2+,可得抛物线的对称轴为x=1,并且对称轴垂直平分线段OB∴OM=BM∴OM+
2、AM=BM+AM连接AB交直线x=1于M点,则此时OM+AM最小过点A作AN⊥x轴于点N,在Rt△ABN中,AB===4,因此OM+AM最小值为.方法提炼:已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B,求AM+BM最小值的问题,我们只需做出点A关于这条直线的对称点A’,将点B与A’连接起来交直线与点M,那么A’B就是AM+BM的最小值。同理,我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B’,将点A与B’连接起来交直线与点M,那么AB’就是AM+BM的最小值。应用的定理是:两点之间线段最短。AABBM或者MA’B’例2:已知抛物线C的函数解析式为yax2
3、bx3a(b0),若抛物线C经过点(0,3),方程11ax2bx3a0的两根为x,x,且xx4。1212(1)求抛物线C的顶点坐标.111(2)已知实数x0,请证明:x≥2,并说明x为何值时才会有x2.xx(3)若抛物线先向上平移4个单位,再向左平移1个单位后得到抛物线C,设A(m,y),21B(n,y)是C上的两个不同点,且满足:AOB900,m0,n0.请你用含有m的表达式22表示出△AOB的面积S,并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。解析:(1)∵抛物线过(0,-3)点,∴-3a=-3∴a=1∴y
4、=x2+bx-3∵x2+bx-3=0的两根为x1,x2且x-x=412∴xx(xx)24xx=4且b<0121212∴b=-2∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4∴抛物线C的顶点坐标为(1,-4)111(2)∵x>0,∴x2(x)20xx11∴x2,显然当x=1时,才有x2,xx(3)方法一:由平移知识易得C的解析式为:y=x22∴A(m,m2),B(n,n2)∵ΔAOB为RtΔ∴OA2+OB2=AB2∴m2+m4+n2+n4=(m-n)2+(m2-n2)2化简得:mn=-111∵S=OA•OB=m2m4•n2n4ΔAOB
5、22∵mn=-1111∴SΔAOB=2m2n22m222m211111=(m)2m212m2m2∴S的最小值为1,此时m=1,A(1,1)ΔAOB∴直线OA的一次函数解析式为y=x方法提炼:①已知一元二次方程两个根x1,x2,求
6、x1-x2
7、。因为
8、x1-x2
9、=(xx)24xx1212bb24acbb24ac根据一元二次方程的求根公式x;x;可得到:12a22abcxx;xx.12a12a11②m2,(mo);当m1时,m2,取得最小值。mm例3:如图,已知抛物线经过点A(﹣1,
10、0)、B(3,0)、C(0,3)三点.(1)求抛物线的解析式.(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长.(3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由.解析:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则:a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1;∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3.(2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有:,解得;故直线BC的解析式:y=﹣x+3.已知点
11、M的横坐标为m,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3);∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3).(3)如图;∵S=S+S=MN(OD+DB)=MN×OB,△BNC△MNC△MNB∴S=(﹣m2+3m)×3=﹣(m﹣)2+(0<m<3);△BNC∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为.方法提炼:因为△BNC的面积不好直接求,将△BNC的面积分解为△MNC和△MNB的面积和。然后将△BNC的面积表示出来,得到一个关于m的二次函数。此题利用的就是二次函数求最值的思想,当二次函数的开口向下时,在顶点处取得最大值;当二次函
12、数的开口向上时,在顶点处取得最小值。题型二:二次函数与三角形的综合问题例4:如图
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