中考数学函数综合题型及解题方法讲解

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1、-二次函数综合题型精讲精练主讲：姜老师题型一：二次函数中的最值问题例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．解析：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0所以解析式为y=﹣x2+x．（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂

2、直平分线段OB∴OM=BM∴OM+AM=BM+AM连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小过点A作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中，AB===4，因此OM+AM最小值为．方法提炼：已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B，求AM+BM最小值的问题，我们只需做出点A关于这条直线的对称点A’，将点B与A’连接起来交直线与点M，那么A’B就是AM+BM的最小值。同理，我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B’，将点A与B’连接起来交直线与点M，那么AB’就是AM+BM的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。A

3、ABBM或者MA’B’例2：已知抛物线C1的函数解析式为yax2bx3a(b0)，若抛物线C1经过点(0,3)，方程ax2bx3a0的两根为x，x，且xx24。121（1）求抛物线C1的顶点坐标.（2）已知实数x0，请证明：x1≥2,并说明x为何值时才会有x1x2.--x（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A(m,y1)，B(n,y2)是C2上的两个不同点，且满足：AOB900，m0.m的表达式表示出△AOB的面积S，，n0请你用含有--第1页共1页--并求出S的最小值及S取最小值时一次

4、函数OA的函数解析式。解析：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３∴a＝１∴ｙ＝x2＋bx－３∵x2＋bx－３=０的两根为x1,x2且x1-x2＝４∴x1x2(x1x2)24x1x2＝４且b＜０∴b＝－２∴ｙ＝x2－２x－３＝（x－１）２－４∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４）（2）∵x＞０，∴x12(x1)20xx∴x1x12,显然当x＝１时，才有2,xx（3）方法一：由平移知识易得Ｃ２的解析式为：y＝x2∴Ａ(m，m２)，B（n，n２）∵ΔAOB为Rt∴OA２+OB２=AB２∴m２＋m４＋n２＋n４＝（m－n）

5、２＋（m２－n２）２化简得：mn＝－１∵ＳAOB=1OAOB=1m2m4n2n422∵mn＝－１∴ＳAOB＝12m2n212m2122m2＝1(m1)21m11212m2m2∴ＳAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１)∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x方法提炼：①已知一元二次方程两个根x1,x2,求

6、x1-x2

7、。因为

8、x1-x2

9、=(xx)24xx2121根据一元二次方程的求根公式x1bb24ac;x2bb24ac;可得到：b;x1x2c.2a2ax1x21aa1②m2,(mo);当m1m2，取得最小值。m时，m--

10、例3：如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．--第2页共2页--（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解析：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）

11、设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN×OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）×3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．方法提炼：因为△BNC的面积不好直接求，将△BNC的面积分解为△MNC和△MNB的面积和。然后将△BNC的面积表

12、示出来，得到一个关于m的二次函数。此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值。题型二：二次函数与三角形的综合问题例4：如图，已知：直线yx3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.