曲线积分与曲面积分复习课件.ppt

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1、第十章曲线积分与曲面积分习题课（四）对坐标的曲面积分（第二型曲面积分）主要内容典型例题巩固训练探索提高一、对坐标的曲面积分的概念1．定义2．物理意义单位时间内流过曲面一侧的流量。表示流体密度速度场为,主要内容二、对坐标的曲面积分的性质1．可加性2．反号性三、对坐标的曲面积分的计算方法1．直接投影法（化为二重积分）(1)设，。则上侧取“+”，下侧取“–”。(2)设，。则前侧取“+”，后侧取“–”。(3)设，。则右侧取“+”，左侧取“–”。2．高斯（Gauss）公式计算法或这里是的外侧边界，为曲线上点处的

2、法向量的方向余弦。3．转化为第一型曲面积分计算法其中为曲面在点处的法向量的方向余弦。四、散度与旋度设，均有一阶连续偏导数。(1)散度(2)旋度五、对坐标的曲面积分的解题方法确定对补上特殊曲面确定的侧封闭应用Guass公式转化为二重积分在封闭曲面上应用Gauss公式求在各坐标面上的投影转化为二重积分YesNo求的方向余弦转化为第一型曲面积分Yes为平面块No解题方法流程图由上图可以看出，计算第二型曲面积分时，首先应找出函数特点，考虑将对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分来后将上面二积分相减，便得原曲面

3、积分的值，即是否封闭，若是封闭曲面，则可直接利用Gauss公式，将所求积分转化为三重积分来计算。若不是封闭曲面，则可进一步判别是否为平面块，是平面块，则可根据题目的计算。若不是平面块，此时，一般有两种方法，一种是通过补特殊曲面，使构成一封闭曲面，然后在封闭曲面上应用Gauss公式，并计算在曲面上的积分，最，，及积分曲面；然后判别另一种方法是按照定义将曲面积分直接转化为二重积分来计算，即直接计算方法。典型例题【例1】计算曲面积分。其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分的前侧。分析本题为计算对坐标的

4、组合积分，但由于不是封闭曲面，且其中的三个曲面积分化为二重积分计算又比较容易（因为为柱面，在坐标面上的投影，故从解题方法的框图上看，采用线路223的方法计算即可。解：因在坐标面上的投影，坐标面上的投影区域为：又在，所以；【例2】计算曲面积分。其中为上半球体，的表面外侧。分析　由于为封闭曲面，所以可采用框图中线路1的方法计算。解：本题中，，，.积分曲面为封闭曲面，设所围成的空间闭区域为，则：，；或：，，。于是由Gauss公式，得【例3】计算曲面积分其中为连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧。分析由于，，

5、其中未知，而积分曲面为平面块，故可考虑利用两类曲面积分之间的关系，把给定的第二型曲面积分转化为第一型曲面积分，即采用框图中线路221的方法解法1:在坐标面上的投影区域(如图)计算；或者转化投影坐标面,减少投影次数．，故的方向余弦为解法2（转化投影坐标面）方向余弦为所以的法向量为，那么转化成三个二重积分后，下一步计算二重积注:此题若用定义直接计算，由于被积函数中含有未知函数分就很难进行了。一般情况下，若被积函数中含有抽象函数，通常不采用直接计算的方法，而是采用将第二型曲面积分转化为第一型曲面积分或转化投

6、影坐标面或利用Gauss公式的方法来处理。解法１:将积分曲线用参数方程表示，将曲线积分化为定积分．则从到０变化令【例４】计算其中是曲线从轴正向往负向看去　为顺时针方向。解法２:利用Stokes公式而平面的法向量向下,所以取原式故【例５】设，求。分析按梯度、散度定义直接计算即可。解:由于所以从而【1】计算曲面积分下半球面的上侧。分析由于，，所以被积函数满足曲面方程巩固训练其中为定义在曲面上，解：先以代入被积表达式中，得框图中线路2→22的方法计算。然后再计算。其次本题可考虑用高斯公式来计算，即采用故应首

7、先考虑用曲面方程化简被积函数,即补有向曲面取下侧，则构成封闭曲面，且方向为内侧。由所围成的空间闭区域为应用高斯公式，得（如图）：又因因此【２】设具有连续导数，计算曲面积分其中为由和所围成区域的外侧。分析令，，，由于被积函数含有抽象函数，如果直接计算很难求出。考虑到为封闭曲面，而且因此可考虑应用高斯公式，即采用框图中线路1的方法计算。解：令，，，则，，，围成的区域为（如图）应用高斯公式，得于是，计算得在柱面坐标系下，：，，