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1、整除和同余精品文档数论初步：整除、质数与同余数论的全名是“整数的理论”，顾名思义，它所探讨的问题主要是关于整数的（实际上是正整数）.当然，有时谈论的范围也会扩展到有理数.一、质数1、基本概念和重要命题质数：只能被1和自身整除的正整数；质数不包括1.筛法：批量获取质数的方法；例如，将2~100排成一列，依次从左到右“筛除”最左边数字的倍数，第一次筛除所有2的倍数，第二次筛除所有3的倍数，第三次筛除所有5的倍数……一直到不超过的最大质数7为止，剩下的数就是100以内的全体质数.一个特殊的质数：2，它是最小的质数，也是质数中唯一的偶数.2、典型例题例1、一个两位数的个位数字与十位数字
2、交换位置后，所得的数比原来大9.在这样的两位数中，质数有多少个？要点：①这种两位数的特点是个位数字比十位数字大1；②快速判定100以内质数的能力.结论：共有3个，分别是23、67和89.例2、若p为质数，且p6＋3也是质数，则p11－52的值是多少？要点：根据已知条件能够确定p的奇偶性.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档结论：p11－52＝1996.3、专题练习习题1若a、b、c、d为整数，且(a2＋b2)(c2＋d2)＝2001，则a2＋b2＋c2＋d2＝.习题2在1~n这n个自然数中，已知共有p个质数，q个合数，k个奇数，m个偶数，则(q－m)＋(p－k)＝.习题
3、3在下列关于质数与合数的说法中，正确的是.①两个质数的和必为合数；②两个合数的和必为合数；③一个质数与一个合数的和必为合数；④一个质数与一个合数的和不可能是合数.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档习题4若质数m、n满足5m＋7n＝129，则m＋n的值是多少？习题5一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后，仍是一个两位质数，我们称它为“无暇质数”，试求所有无暇质数的和.习题6已知3个质数m、n、p的乘积等于这3个数之和的5倍，求m2＋n2＋p2的值.二、整除1、基本概念和重要命题整除关系：对于整数a和不为0的整数b，若存在整数m使得bm＝a，则称a能被b整除（或b整
4、除a），b是a的因数（或a是b的倍数），记为b
5、a.整除的重要基本性质：①若b和c都能被a整除，则b与c的和或差也能被整除.②若b能被a整除，c能被b整除，则c能被a整除.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档③若bc能被a整除，且c与a互质，则b能被a整除.④若a同时能被b和c整除，且b,c互质，则a能被bc整除.2、典型例题例1、判断一个自然数能否被5整除的方法是“看个位数是否为0或5”，解释其原理.要点分析：任一自然数可以写成10a＋b的形式，其中b表示它的个位数；而10a＝5×2a能被5整除，于是将“10a＋b能否被5整除”的问题转化为“个位数b能否被5整除”的问
6、题.类似地，请你解释“判断一个自然数能否被2、4、8整除”的方法.例2、已知7位数是72的倍数，求出所有符合条件的7位数.要点分析：①由于72＝8×9，而8和9互质，因此“是72的倍数”就转化为“既能被8整除，又能被9整除”；②“能被8整除”的判据是看后三位，“能被9整除”的判据是各位数字之和能被9整除；③别忘记，x、y只能在0~9这十个数字中选取；④实际上，可以先考虑“能被4整除”，因为这样很容易将y限定为奇数.结论：共有3个数符合要求，1287216，1287936，1287576.例3、将1,2,3,……,2010这2010个数字随意排成一行，得到数N，证明：N一定是合数
7、.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档要点分析：①证明的关键在于为N找到一个因数a，考虑到“随意排成一行”的条件，可知a
8、N的判据应该形如“各位数字之和……”，因为这样才不会受到排列顺序的影响.②由于“各位数字之和与数本身的整除性是一样的”，我们不需要具体考虑每个数的各位数字之和是多少，只要直接将1~2010累加起来即可.结论：因为1~2010的累加和必是3的倍数（为什么？），所以N一定能被3整除，是合数.*证明的书写：只要将每一步推导的理由说明即可.所谓的“理由”，就是前面提到的整除性质，或者是“能被某数（如2、3、5、7、9、11等）整除”的判据.证明：若数N由1,
9、2,3,……,2010这2010个数字随意排列而成，则3
10、N.设x＝N的各位数字之和，y＝1＋2＋…＋2010；∵根据被3整除的判据，任意正整数被3整除性质与它的各位数字之和被3整除性质一致∴x被3整除性质与y被3整除性质一致而能被3整除∴x能被3整除.∴N能被3整除.∴N是合数.例4、证明：（1）形如的六位数一定能被7、11、13整除；（2）若4b＋2c＋d＝32，则8
11、.证：（1）∵，而1001＝7×11×13，∴7
12、，11
13、，13
14、.（2）∵而能被8整除，收集于网络，如有侵权请联系管理
