数学建模-微分方程稳定性课件.ppt

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1、part1：微分方程与差分方程稳定性一微分方程模型二差分方程模型在研究实际问题时,我们常常不能直接得出变量之间的关系，但却能容易得出包含变量导数在内的关系式，这就是微分方程.在现实社会中，又有许多变量是离散变化的，如人口数、生产周期与商品价格等,而且离散的运算具有可操作性,差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁.不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解(必要时，可以利用计算机求其数值解)，既使得到其解析解，尚有未知参数需要估计(这时可利用第二章参数估计方法).而在实际问题中，讨论问题的解的变化趋势很重要，因此

2、，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.如果则称平衡点x0是稳定的.称代数方程f(x)=0的实根x=x0为方程(4-1)的平衡点(或奇点).它也是方程(4-1)的解.设一维微分方程模型平衡点的稳定性由于在讨论方程(4-1)的来代替.稳定性时，可用一阶微分方程模型平衡点的稳定性易知x0也是方程(4-2)的平衡点.(4-2)的通解为关于x0是否稳定有以下结论：①若则x0是稳定的；②若则x0是不稳定的.这个结论对于(4-1)也是成立的.一阶微分方程模型平衡点的稳定性代数方程组的实根x=x0,y=y0称为方程(4-3)的平衡点,记

3、作P0(x0,y0).它也是方程(4-3)的解.微分方程组的平衡点的稳定性如果则称平衡点P0是稳定的.微分方程组的平衡点的稳定性下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别准则.设则当p＞0且q＞0时，平衡点P0是稳定的；当p＜0或q＜0时，平衡点P0是不稳定的.微分方程组的平衡点的稳定性稳定性模型建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益

4、。问题及分析在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。背景实例：捕鱼业的持续收获假设无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模捕捞情况下渔场鱼量满足r~固有增长率,N~最大鱼量h(x)=Ex,E~捕捞强度x(t)~渔场鱼量，产量模型平衡点稳定性判断x0稳定,可得到稳定产量x1稳定,渔场干枯E~捕捞强度r~固有增长率产量模型图解法P的横坐标x0~平衡点y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵

5、坐标h~产量产量最大f与h交点Phmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半产量模型－最大产量效益模型假设鱼销售价格p单位捕捞强度费用c单位时间利润稳定平衡点求E使R(E)最大渔场鱼量收入T=ph(x)=pEx支出S=cE对于k阶差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(4-6)若有xn=x(n),满足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,则称xn=x(n)是差分方程(4-6)的解,包含k个任意常数的解称为(4-6)的通解,x0,x1,…,xk-1为已知时称为(4-6)的初始

6、条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(4-6)的特解.差分方程模型若x0,x1,…,xk－1已知，则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现.若有常数a是差分方程(4-6)的解，即F(n;a,a,…,a)=0,则称a是差分方程(4-6)的平衡点.又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的解xn=x(n)都有xn→a(n→∞),则称这个平衡点a是稳定的.差分方程模型一阶常系数线性差分方程xn+1+axn=b,(其中a,b为常数，且a≠-1,0)的通解为xn=C

7、(-a)n+b/(a+1)易知b/(a+1)是其平衡点，由上式知，当且仅当

8、a

9、＜1时，b/(a+1)是稳定的平衡点.差分方程模型二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r为常数.当r=0时，它有一特解x*=0；当r≠0，且a+b+1≠0时，它有一特解x*=r/(a+b+1).不管是哪种情形，x*是其平衡点.设其特征方程2+a+b=0的两个根分别为=1,=2.差分方程模型①当1,2是两个不同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;②当

10、1,2=是两个相同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+(C1+C2n)n;则差分方程模型③当1,2=(cos+isin)是一对共轭复根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+n(C1cosn+C2sinn).易知，当且仅当特征方程的任一特征根

11、i

12、＜1时,平衡点x*是稳定的.差分方程模型对