数字图象处理 第2章课件.ppt

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1、图像变换就是为达到图像处理的某种目的而使用的一种数学技巧，图像函数经过变换后处理起来较变换前更加简单和方便。现在研究的图像变换基本上都是正交变换，正交变换可以减少图像数据的相关性，有利于用较少的数据量表示原始图像，这对图像的分析、存储以及图像的传输都是非常有意义的。第2章图像的频域变换2.1傅立叶变换2.2离散余弦变换2.3K-L变换2.4离散沃尔什-哈达玛变换2.6小波变换2.1傅立叶变换2.1.1连续函数的傅立叶变换令f(x)为实变量x的一维连续函数，当f(x)满足狄里赫莱条件，即f(x)具有有限个间断点、具有有限个极值点、绝对可积时，则傅立叶变换对一定存在。在实际应用中，这些条件

2、基本上都是可以满足的。——x为时域变量，u为频域变量。一维连续函数的傅立叶变换对定义为：一维连续函数的傅立叶变换对的符号表示为：f(x)为实函数，其傅立叶变换F(u)通常为复函数:复数形式：指数形式：振幅：相角：振幅谱的平方称为f(x)的能量谱：如果二维函数满足狄里赫莱条件，则它的傅立叶变换对为:——x，y为空域变量，u，v为频域变量。二维连续函数的傅立叶变换对的复数形式为：复数形式：指数形式：振幅：相角：能量谱：2.1.2离散函数的傅立叶变换由于连续傅立叶变换在计算机上无法直接使用，计算机只能处理离散数值，为了在计算机上实现傅立叶变换计算，必须把连续函数离散化，即将连续傅立叶变换转化

3、为离散傅立叶变换。(DiscreteFourierTransform，简称DFT)设{f(x)

4、f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}为一维信号f(x)的N个抽样，其离散傅立叶变换对为：式中：x，u=0，1，2，…,N－1。注意：在式中的系数1/N也可以放在正变换中，有时也可在傅立叶正变换和逆变换前分别乘以，只要正变换和逆变换前系数乘积等于1/N即可。由欧拉公式可知并利用cos(－θ)=cosθ，可得：可见，离散序列的傅立叶变换仍是一个离散的序列，每一个u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列f(x)的加权和。一维离散傅立叶变换的复数形式、指数形式、振幅、相角、能量谱的表示类似一

5、维连续傅立叶变换的相应的表达式。将一维离散傅立叶变换推广到二维，则二维离散傅立叶变换对定义为：像一维离散傅立叶变换一样，系数1/MN可以在正变换或逆变换中，也可以在正变换和逆变换前分别乘以系数，只要两式系数的乘积等于1/MN即可。二维离散傅里叶变换的复数形式、指数形式、振幅、相角、能量谱的表示类似二维连续函数的相应的表达式。式中：x，u=0，1，2，…,M－1y，v=0，1，2，…,N－12.1.3二维离散傅立叶变换的基本性质设二维离散函数为f1(x,y)、f2(x,y)，它们所对应的傅立叶变换分别为F1(u,v)、F2(u,v)。（1）线性性质a，b为常数。（2）比例性质说明了在空

6、间比例尺度的展宽，相应于频域比例尺度的压缩，其幅值也减少为原来的。图2.1.1傅立叶变换的比例性（3）可分离性将此二维离散傅里叶变换变成如下形式：利用这个性质，一个二维的离散傅立叶变换可通过进行两次一维离散傅立叶变换来完成。以正变换为例，先对f(x,y)沿y轴进行傅立叶变换：再沿着x轴对进行一维离散傅立叶变换：显然对f(x,y)先沿x轴进行离散傅立叶变换，再沿y轴进行离散傅立叶变换结果一样。（4）频率位移及空间位移频率位移：空间位移：当用乘以f(x,y)，求乘积的傅立叶变换，可以使空间频率域u－v平面坐标系原点从（0，0）平移到（u0，v0）的位置；同样，当用乘以F(u,v)，并求此乘

7、积的离散傅立叶反变换，可以使空间x－y平面坐标系原点从（0，0）平移到（x0，y0）的位置。上式表明：只要f(x，y)乘上因子进行傅立叶变换即可实现如果需要将图像频谱的原点从起始点(0，0)移到图像的中心点(M/2，N/2)令u0=M/2，v0=N/2，则在数字图像处理中，为了清楚地分析图像傅立叶谱的分布情况，经常需要把空间频率平面坐标系的原点移到（M/2,N/2）的位置（5）周期性和共轭对称性当u和v取无限组整数值时，F(u，v)将出现周期重复性：其中，a，b=0,±1,±2,…周期性说明：由F(u，v)用反变换求f(x，y)，只需F(u，v)中的一个完整周期即可；空域中，对f(x，

8、y)也有类似的性质。周期性：共轭对称性：共轭对称性说明：变换后的幅值是以原点为中心对称，利用此特性，在求一个周期内的值时，只需求出半个周期，另半个周期也就知道了，这大大地减少了计算量。（6）旋转性质令则f(x，y)和F(u，v)分别变为和，在极坐标系中，存在以下变换对：旋转性质表明：如果f(x，y)在空间域中旋转角度，则相应的傅立叶变换F(u，v)在频率域中旋转同样的角度，反之亦然。（c）旋转后的图像（d）旋转后图像的傅立叶频谱（a）原图像（b