充分发挥直观想象让解题更具韵味教学内容.docx

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1、充分发挥直观想象让解题更具韵味精品文档充分发挥“直观想象”让解题更具韵味225500江苏省姜堰中学张圣官“直观想象”指的是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程．主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础．在数学解题中充分发挥直观想象，可以让解题过程具体、生动、形象，更具韵味．1．利用图形变换，让解题过程更形象英国心理学家查得﹒斯

2、根普认为，几何图形是一种视觉符号，与表象的形成密切相关．因此，图形以及图形的加工、变换能力在培养与发展空间想象能力的过程中起了关键作用．图形的变换一般有三种类型：（1）图形的运动与变式；（2）图形的分解与组合；（3）平面图形与空间图形的对比、类比与转换．例1如图1，在四面体S—ABC中，∠SAB=∠SCB=∠ABC，∠SBC=∠SAC=∠ACB，∠SBA=∠SCA=∠BAC，求证：SA=BC，SB=AC，SC=AB．图2图1【分析】本题用常规方法非常困难．现将四面体S—ABC沿SA、SB、SC剪开后展到平面ABC上得△S1S2S3（如图2）．由条件知，∠S2AB=∠ABC=∠BCS3，从

3、而S2A∥BC，S3C∥AB．同理，S1A∥BC．这样就有S1、A、S2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档共线且A为S1S2的中点，同样可得B、C分别为S2S3，S3S1的中点．所以结论成立，即SA=BC，SB=AC，SC=AB．例2（Ⅰ）给出两块相同的正三角形纸片（如图），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图中，并作简要说明；（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小．EFAD图3图4【分析】（Ⅰ）如图3，为简化运算，设计正三棱锥为正四面体，设所给正三角形边长为

4、，则由得，其正四面体棱长为，故沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．如图4，为方便体积大小比较，设计正三棱柱的底面边长也为，由于其全面积为，故在正三角形三个角上剪出与四边形ADEF相同的三个四边形，其中AD=AF=a，DE=DF，∠ADE=∠AFE=900，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成正三棱柱的上底．（Ⅱ）由上可知，正三棱锥与正三棱柱底面边长均为2a，S底=，下面求它们的高．；．∴．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档【点评】这道“操作型”问题很有新意，它具有开放性，所得结论随解题方法的不同而不同，较好地考查了学生的空

5、间想象能力、动手操作能力、探究能力和逻辑推理能力．例3已知：在四面体ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=，BD=AC=，试求此四面体的体积．ABCDxyz图5【分析】本题中四面体ABCD的四个表面面积均可求，但高的位置不易确定，直接求体积有一定困难．注意到四面体ABCD的相对棱相等的条件，联想到长方体相对表面的对角线相等这一性质，故可补成长方体解题．【解】将四面体ABCD“嵌入”到长方体中，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则有∴，即四面体ABCD的体积为20．ABSCMN图6例4如图，在正三棱锥S-ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且MN⊥AM，若侧棱长SA=，则正三

6、棱锥S-ABC的外接球的表面积为．【分析】由条件中的MN⊥AM，可以推得．又由正三棱锥S-ABC中对棱互相垂直，得．所以SB⊥平面SAC收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档，从而该正三棱锥的三个顶角都是直角．将该三棱锥补成正方体，使S成为正方体的一个顶点，则正三棱锥S-ABC的外接球也即是正方体的外接球，根据得，R=3，所以正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为．2．利用以形助数，让解题过程更丰富数学是研究客观世界空间形式和数量关系的一门科学．有些数学问题，在代数范畴内也可以解决．但是如果加入几何因素，将“数”与“形”有机结合起来，往往能够使解法更多样，让解题过程更丰富．华罗庚教授

7、对此很准确地进行了论述：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．例5直角坐标系中，已知A（4，3），试在x轴正半轴上求一点P，使取得最大．【分析】要在x轴正半轴上求一点P，使取得最大，可以从代数的角度来处理，设，则，接着可以考虑将放到分母中转化为关于的二次函数通过配方，或者也可以利用导数来处理，但运算较为繁琐．其实注意到本题中“A为定点”，利用正弦定理可得以下简解．【解】在三角形OAP中，根据正弦定理得，由于为定值，问题转化为求最大值．