高考数学专题复习教案: 不等式选讲备考策略.doc

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时间:2020-08-02

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1、不等式选讲备考策略主标题:不等式选讲备考策略副标题:通过考点分析高考命题方向,把握高考规律,为学生备考复习打通快速通道。关键词:绝对值不等式,含参数不等式,不等式证明,备考策略难度:3重要程度:5内容热点一 含绝对值不等式的解法例1 不等式

2、x+3

3、-

4、2x-1

5、<+1的解集为________________.答案 解析 ①当x<-3时,原不等式化为-(x+3)-(1-2x)<+1,解得x<10,∴x<-3.②当-3≤x<时,原不等式化为(x+3)-(1-2x)<+1,解得x<-,∴-3≤x<-.③当x≥时,原不等式化为(x+3)-(2x-1)<

6、+1,解得x>2,∴x>2.综上可知,原不等式的解集为.【备考策略】 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤:①求零点;②划区间、去绝对值号;③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法.(1)若不等式

7、x+1

8、+

9、x-2

10、

11、x+1

12、+

13、x-2

14、的最小值为3,而

15、x+1

16、+

17、x-2

18、

19、若存在实数x使

20、x-a

21、+

22、x-1

23、≤3成立,则实数a的取值范围是________.答案 [-2,4]解析 利用绝对值不等式的性质求解.∵

24、x-a

25、+

26、x-1

27、≥

28、(x-a)-(x-1)

29、=

30、a-1

31、,要使

32、x-a

33、+

34、x-1

35、≤3有解,可使

36、a-1

37、≤3,∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a≤4.热点二 不等式的证明例2 求证下列不等式:(1)设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2;(2)a6+8b6+c6≥2a2b2c2;(3)a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc.证明 (1)3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(

38、a-b)-2b2·(a-b)=(a-b)(3a2-2b2).∵a≥b>0,∴a-b≥0,3a2-2b2>0.∴(a-b)(3a2-2b2)≥0.∴3a3+2b3≥3a2b+2ab2.(2)a6+8b6+c6≥3=3×a2b2c2=2a2b2c2,∴a6+8b6+c6≥2a2b2c2.(3)∵a2+4b2≥2=4ab,a2+9c2≥2=6ac,4b2+9c2≥2=12bc,∴2a2+8b2+18c2≥4ab+6ac+12bc,∴a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc.【备考策略】 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法.作差法证明不等式的一般

39、步骤:①作差;②分解因式;③与0比较;④结论.关键是代数式的变形能力.(2)注意观察不等式的结构,利用基本不等式或柯西不等式证明.设a、b、c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca≤;(2)++≥1.证明 (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即+

40、+≥a+b+c.所以++≥1.热点三 不等式的综合应用例3 已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为________.答案 2解析 先化简式子,再利用基本不等式求解最值,注意等号取得的条件.∵a,b,m,n∈R+,且a+b=1,mn=2,∴(am+bn)(bm+an)=abm2+a2mn+b2mn+abn2=ab(m2+n2)+2(a2+b2)≥2ab·mn+2(a2+b2)=4ab+2(a2+b2)=2(a2+b2+2ab)=2(a+b)2=2,当且仅当m=n=时,取“=”.∴所求最小值为2.

41、【备考策略】 利用基本不等式求解最值时,有时需化简代数式,切记等号成立的条件.设a,b,c,x,y,z是正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则=________.答案 解析 通过等式找出a+b+c与x+y+z的关系.由题意可得x2+y2+z2=2ax+2by+2cz,①①与a2+b2+c2=10相加可得(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=10,所以不妨令,则x+y+z=2(a+b+c),即=.

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