高考数学专题复习教案： 直线与圆锥曲线的位置关系备考策略.doc

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1、直线与圆锥曲线的位置关系备考策略主标题：直线与圆锥曲线的位置关系备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道.关键词：直线与圆锥曲线的位置关系，知识总结备考策略难度：5重要程度：5内容：一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．1．当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离．2．当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则

2、直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．二、圆锥曲线的弦长　设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

3、AB

4、＝

5、x2－x1

6、＝

7、y2－y1

8、.思维规律解题：考向一：中点弦、弦长问题例1.　已知F1(－1,0)、F2(1,0)，圆F2：(x－1)2＋y2＝1，一动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F2相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以F1，F2为焦点的椭圆．(1)求曲线C的方程

9、；(2)设曲线C与曲线E相交于第一象限点P，且

10、PF1

11、＝，求曲线E的标准方程；(3)在(1)、(2)的条件下，直线l与椭圆E相交于A、B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．解析　(1)设动圆圆心的坐标为(x，y)(x＞0)因为动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F2相外切，所以

12、CF2

13、－x＝1，∴＝x＋1，化简整理得y2＝4x，曲线C的方程为y2＝4x(x＞0)；(2)依题意，c＝1，

14、PF1

15、＝，可得xp＝，∴

16、PF2

17、＝，又由椭圆定义得2a＝

18、PF1

19、＋

20、PF2

21、＝＋＝4，a＝2.∴b2＝a2－c2＝3，所以曲线E的标准方程为＋

22、＝1；(3)(方法一)设直线l与椭圆E交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B的中点M的坐标为(x0，y0)，设直线l方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，与＋＝1联立得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，由Δ＞0得4k2－m2＋3＞0；①由韦达定理得x1＋x2＝－，∴x0＝－，y0＝，将M代入y2＝4x，整理得m＝－，②将②代入①得162k2(3＋4k2)＜81，令t＝4k2(t＞0)，则64t2＋192t－81＜0，∴0＜t＜.∴－＜k＜且k≠0.(方法二)设直线l与椭圆E交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B的中点M的坐标为(

23、x0，y0)，将A，B的坐标代入椭圆方程中，得两式相减得3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0，∴＝－，∵y＝4x0，∴直线AB的斜率k＝＝－y0，由(2)知xp＝，∴y＝4xp＝，∴yP＝±，由题设－＜y0＜(y0≠0)，∴－＜－y0＜，即－＜k＜(k≠0)．考向二：最值与范围问题例2(2013·课标全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACB

24、D面积的最大值．解析　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则＋＝1，＋＝1，＝－1，由此可得＝－＝1.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，所以a2＝2b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程为＋＝1.(2)由解得或因此

25、AB

26、＝.由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n，设C(x3，y3)，D(x4，y4)．由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.于是x3,4＝.因为直线CD的斜率为1，所以

27、CD

28、＝

29、x4－x3

30、＝.由已知，四边形ACBD的面积S＝

31、CD

32、·

33、AB

34、＝，当n

35、＝0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.考向三[158]　定值、定点问题例3.设M、N为抛物线C：y＝x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若

36、AB

37、＝1.图8－9－1(1)求点P的轨迹方程；(2)求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值．解析　(1)设M(m，m2)，N(n，n2)，则依题意知，切线l1，l2的方程分别为y＝2mx－m2，y＝2nx－n2，则A，B.设P(x，y)，由得①因为

38、AB

39、＝1，所以

40、n－m

41、＝2，即(m＋n)2－4mn＝4，将①

42、代入上式，得y＝x2－1.∴点P的轨迹方程为y＝x2