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《高中数学必修1教案：第二章（第9课时）反函数2.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课题：2.4.2反函数（二）教学目的：⒈使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明.⒉会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题.教学重点：互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明，定理的应用；教学难点：定理的证明（但教材不作要求）.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．反函数的定义；2．互为反函数的两个函数与间的关系：----定义域、值域相反，对应法则互逆；3．反函数的求法：一解、二换、三注明4.在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x轴的对称点(x,-y
2、);②点A(x,y)关于y轴的对称点(-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点(-x,-y);④点A(x,y)关于y=x轴的对称点(?,？);5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系（在定义域、值域和对应法则方面）.函数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量y之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系.①的反函数是②的反函数是二、讲解新课：1．探究互为反函数的函数的图像关系观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数的图象
3、和它的反函数的图象关于直线对称.2．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理）证明：设M(a,b)是的图象上的任意一点，则当x=a时，有唯一的值.∵有反函数，∴当x=b时，有唯一的值，即点(b,a)在反函数的图象上.若a=b，则M，是直线y=x上的同一个点，它们关于直线y=x对称.若ab，在直线y=x上任意取一点P(c,c)，连结PM，P，M由两点间的距离公式得：PM=,P=，∴PM=P.∴直线y=x是线段M的垂直平分线，∴点M,关于直线y=x对称.∵点M是y=f(x)的图象上的任意一点，∴图象上任意一点关于直线y=x的
4、对称点都在它的反函数的图象上，由与互为反函数可知，函数图象上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数的图象上，∴函数与的图象关于直线y=x对称.逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x对称，则这两个函数一定是互为反函数.3．应用：⑴利用对称性作反函数的图像若的图象已作出或比较好作，那么它的反函数的图象可以由的图象关于直线y=x对称而得到；⑵求反函数的定义域求原函数的值域；⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同三、讲解例题：例1．求函数的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象.解：∵原函数的定义域是x<0，值域是
5、y>0,∴由y=解出,∴函数的反函数是,作y=(x(-∞,0))的图象，再作该函数关于直线y=x的对称曲线，即为函数的图象（如图）.例2．求函数的值域．分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系.解：∵∴∴y≠∴函数的值域为{y
6、y≠}例3已知=(x<-1)，求；解法1：⑴令=y=，∴=--①，∵x<-1，∴x=-;⑵∵x<-1，由①式知≥1,∴y<0;⑶∴=-(x<0)；⑷=-2.分析：由y=与y=互为反函数的关系可知：当y=中的x=a时y=b，则在y=中,当x=b时y=a，本题要求，设其为u，说明在函
7、数=y=(x<-1)中，当y=时，x=u，问题转化为知原来函数中的y=而求x.解法2：令=，变形得=1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2.说明：解法2显然比解法1简捷得多，正确灵活地运用所学的有关概念，往往可以收到事半功倍的效果.四、练习：课本P63－64练习：5，6，7补充：设函数y=的反函数为y=，求y=的反函数.解：在函数y=中，x为自变量，y为函数，且由题意知-x=,∴x=-，∴y=的反函数为y=-，又∵=,∴y=的反函数为y=-.五、小结本节课学习了以下内容：1.互为反函数的函数图象间关系，2.求一个函数的反
8、函数图象的方法，3.互为反函数的两个函数具有相同的增减性六、课后作业：课本P64习题2.4：2答案与提示：2.y==,x∈[0,5];补充：⒈求下列函数的反函数：⑴；⑵y=-6x+12(x≤3);⑶y=(x≤-2).⒉已知函数y=ax+2的反函数是y=3x+b，求a,b的值.答案：⒈⑴y=-(x≥0);⑵y=3-(x≥0);⑶y=--2(x≥0).⒉a=,b=-6;.七、板书设计（略）八、课后记：
