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时间:2020-08-02
《高一三角函数试题及答案:任意角的三角函数1.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、例1 下列说法中,正确的是[ ]A.第一象限的角是锐角B.锐角是第一象限的角C.小于90°的角是锐角D.0°到90°的角是第一象限的角【分析】本题涉及了几个基本概念,即“第一象限的角”、“锐角”、“小于90°的角”和“0°到90°的角”.在角的概念推广以后,这些概念容易混淆.因此,弄清楚这些概念及它们之间的区别,是正确解答本题的关键.【解】第一象限的角可表示为{θ
2、k·360°<θ<90°+k·360°,k∈Z},锐角可表示为{θ
3、0°<θ<90°},小于90°的角为{θ
4、θ<90°},0°到90°的角为{θ
5、0°≤θ<90°}.因此,锐角的集合是第一象限角的集合当k
6、=0时的子集,故(A),(C),(D)均不正确,应选(B).(90°-α)分别是第几象限角?【分析】 由sinα·cosα<0,所以α在二、四象限;由sinα·tanα<0,所以α在二、三象限.因此α为第二象限的角,然后由角α的【解】(1)由题设可知α是第二象限的角,即90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),的角.(2)因为 180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z),所以2α是第三、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角.(3)解法一:因为90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),所以 -180°-k·360°
7、<-α<-90°-k·360°(k∈Z).故 -90°-k·360°<90°-α<-k·360°(k∈Z).因此90°-α是第四象限的角.解法二:因为角α的终边在第二象限,所以-α的终边在第三象限.将-α的终边按逆时针旋转90°,可知90°-α的终边在第四象限内.【说明】①在确定形如α+k·180°角的象限时,一般要分k为偶数或奇数讨论;②确定象限时,α+kπ与α-kπ是等效的.例3 已知集合E={θ
8、cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ
9、tanθ<sinθ},那么E∩F是区间[ ]【分析】 解答本题必须熟练掌握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函数值随角
10、的变化而递增或递减的变化情况.可由三角函数的性质判断,也可由三角函数线判断.用代入特殊值排除错误答案的方法解答本题也比较容易.【解法一】 由正、余弦函数的性质,【解法二】由单位圆中的正弦线和正切线容易看出,对于二、四象限的角,AT<MP,即tanα<sinθ,由正弦线和余弦线可看出,当应选(A).可排除(C),(D),得(A).【说明】本题解法很多,用三角函数线还可以有以下解法:因为第一、三象限均有AT>MP,即tanθ>sinθ,所以(B),(C),(D)均不成立.用排除法也有些别的方法,可自己练习.例4(1)已知角α终边上一点P(3k,-4k)(k<0),求sinα,
11、cosα,tanα的值;【分析】利用三角函数的定义进行三角式的求值、化简和证明,是三两个象限,因此必须分两种情况讨论.【解】(1)因为x=3k,y=-4k,例5 一个扇形的周长为l,求扇形的半径、圆心角各取何值时,此扇形的面积最大.【分析】解答本题,需灵活运用弧度制下的求弧长和求面积公式.本题是求扇形面积的最大值,因此应想法写出面积S以半径r为自变量的函数表达式,再用配方法求出半径r和已知周长l的关系.【解】设扇形面积为S,半径为r,圆心角为α,则扇形弧长为l-2r.所以【说明】在学习弧度制以后,用弧度制表示的求弧长与扇形面积公形的问题中,中心角用弧度表示较方便.本例实际
12、上推导出一个重要公式,即当扇形周长为定值时,怎样选取中心角可使面积得到最大值.本题也可将面积表示为α的函数式,用判别式来解.【分析】第(1)小题因α在第二象限,因此只有一组解;第(2)小题给了正弦函数值,但没有确定角α的象限,因此有两组解;第(3)小题角α可能在四个象限或是轴线角,因此需分两种情况讨论.【解】(3)因为sinα=m(
13、m
14、<1),所以α可能在四个象限或α的终边在x轴上.例7(1)已知tanα=m,求sinα的值;【分析】(1)已知tanα的值求sinα或cosα,一般可将tanα母都是sinα和cosα的同次式,再转化为关于tanα的式子求值,转化的方法是
15、将分子、分母同除以cosα(或cos2α,这里cosα≠0),即可根据已知条件求值.【说明】 由tanα的值求sinα和cosα的值,有一些书上利用公很容易推出,所以不用专门推导和记忆这些公式,这类问题由现有的关系式和方法均可解决.函数的定义来证明.由左边=右边,所以原式成立.【证法三】(根据三角函数定义)设P(x,y)是角α终边上的任意一点,则左边=左边,故等式成立.例9 化简或求值:【分析】 解本题的关键是熟练地应用正、余弦的诱导公式和记住特殊角的三角函数值.=-sinα-cosα(因为α为第三象限角).例10 (1)若f
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