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时间:2020-07-31
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1、主成分分析与因子分析PrincipalComponentsAnalysis&FactorAnalysis第二军医大学卫生统计学教研室张罗漫第20章1讲课内容:第一节主成分分析第二节因子分析2第一节主成分分析PrincipalComponentsAnalysis3一、基本思想数据的降维、数据的解释将原来众多具有一定相关性的指标,组合成一组新的相互无关的综合指标。从中选取几个较少的综合指标尽可能多的反映原来众多指标的信息。这种既减少了指标的数目又抓住了主要矛盾的做法有利于问题的分析和处理。45如何利用这些指标对每一儿童的生长发育作出正确评价?仅用
2、单一指标:结论片面;没有充分利用原有数据信息。利用所有指标:各指标评价的结论可能不一致,使综合评价困难;工作量大。6找出几个综合指标(长度、围度、特体),这些综合指标是原始指标的线性组合,既保留了原始指标的信息,且互不相关。各综合指标提供的“信息”量大小用其方差来衡量。衡量一个指标的好坏除了正确性与精确性外,还必须能充分反映个体间的变异,一项指标在个体间的变异越大,提供的信息量越多。7二、数学模型及几何意义8Z=AX9第一主成分在所有Zi中最大10第二主成分……理论上主成分个数最多为m个(指标个数)实际工作中确定的主成分个数总是小于m个在所有
3、Zi中为第2大。无关,互相垂直:11X1X2112-2-2-1-120相关变异12X1X2Z1Z2112-2-2-2-211-1-1-1-1222013Z1Z2-2-211-1-1220相关变异14三、主成分的求法及性质15(一)主成分的求法1.对各原始指标值进行标准化为了方便,仍用Xij表示Xij’。16标准化后的数据矩阵X=172.求出X1,X2,…,Xm的相关矩阵RR=Cov(X)=18Pearson相关系数标准化后的协方差协方差193.求出矩阵R的全部特征值(eigenvalue)i,第i个主成分的组合系数ai1,ai2,,aim
4、满足方程组:(r11-i)ai1+r12ai2++r1maim=0r21ai1+(r22-i)ai2++r2maim=0rm1ai1+rm2ai2++(rmm-i)aim=020(r11-i)ai1+r12ai2++r1maim=0r21ai1+(r22-i)ai2++r2maim=0rm1ai1+rm2ai2++(rmm-i)aim=0i为矩阵R的第i个特征值,共有m个非负特征值,由大到小的顺序排列为:1≥2≥≥m≥0i=Var(Zi)214.由以上方程组,求出相应于特征值i的特征向量(eigenv
5、ector)(ai1,ai2,,aim)’22(二)主成分的性质1.各主成分互不相关232.主成分的贡献率与累积贡献率(原始指标值标准化)(指标个数)贡献率累积贡献率243.主成分个数的选取(1)前k个主成分的累积贡献率>70%。(2)主成分Zi的特征值i≥1。4.因子载荷(第i主成分Zi与第j原始指标Xi间相关系数)255.样品的主成分得分26四、实例272829301.主成分个数的选取3很接近于1;3与2的贡献率相差不大,为25%左右,若舍去3不合理。取前三个主成分。312.列出主成分表达式Z1为急性炎症成分(X1转氨酶、X2
6、肝大指数)Z2为慢性炎症成分(X3硫酸锌浊度)Z3为癌变成分(X4甲胎球蛋白)323.求出因子载荷阵334.主成分得分34标准化指标主成分还原为原始指标主成分35将该肝病患者的四项肝功能指标代入原始指标主成分表达式:Z1=2.50865Z2=-1.06626Z3=-1.22943该肝病患者可能为急性炎症。36五、主成分分析的应用1.对原始指标进行综合以互不相关的较少个综合指标反应众多原始指标提供的信息。主成分回归(解决多元共线问题)。2.进行综合评价373.进行探索性分析利用因子载荷阵,找出影响各综合指标的主要原始指标。4.对样品进行分类利用
7、主成分得分对样品进行分类:Z1为急性炎症成分Z2为慢性炎症成分Z3为癌变成分38第二节因子分析FactorAnalysis39一、因子分析基本思想从分析多个可观测的原始指标的相关关系入手,找到支配这种相关关系的有限个不可观测的潜在变量。是多元分析中处理降维的一种统计方法。如:脑部疾病患者的意识清醒状态可由语言能力、辩识能力、记忆能力、理解能力与思维逻辑能力等可观测的指标反映。40二、因子分析数学模型X1:收缩压X2:舒张压X3:心跳间隔X4:呼吸间隔X5:舌下温度F1:交感神经F2:副交感神经commonfactor41specificfac
8、torcommonfactor42Xi:观测指标(标准化数据)Fi:公因子ei:特殊因子aij:因子载荷(计算关键项)43X=AF+e444546三、因子模型的性质
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