主成分分析与因子分析ppt课件.ppt

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1、第9章主成分分析和因子分析汇报什么？假定你是一个公司的财务经理，掌握了公司的所有数据，比如固定资产、流动资金、每一笔借贷的数额和期限、各种税费、工资支出、原料消耗、产值、利润、折旧、职工人数、职工的分工和教育程度等等。如果让你向上面介绍公司状况，你能够把这些指标和数字都原封不动地摆出去吗？你必须要把各个方面作出高度概括，用一两个指标简单明了地把情况说清楚。主成分分析与因子分析的概念主成分分析与因子分析是一种降维的方法。主成分分析与因子分析是将多个实测变量转换为少数几个不相关的综合指标的多元统计分析方法主成分分析与因子分析的概念（续）由于实测的变量间存

2、在一定的相关关系，因此有可能用较少数的综合指标分别综合存在于各变量中的各类信息，而综合指标之间彼此不相关，即各指标代表的信息不重叠。综合指标称为因子或主成分（提取几个因子），一般有两种方法：特征值>1累计贡献率>0.8主成分分析每个人都会遇到有很多变量的数据。比如全国或各个地区的带有许多经济和社会变量的数据；各个学校的研究、教学等各种变量的数据等等。这些数据的共同特点是变量很多，在如此多的变量之中，有很多是相关的。人们希望能够找出它们的少数“代表”来对它们进行描述。本章就介绍两种把变量维数降低以便于描述、理解和分析的方法：主成分分析（principa

3、lcomponentanalysis）和因子分析（factoranalysis）。实际上主成分分析可以说是因子分析的一个特例。成绩数据（student.sav）100个学生的数学、物理、化学、语文、历史、英语的成绩如下表（部分）。从本例可能提出的问题目前的问题是，能不能把这个数据的6个变量用一两个综合变量来表示呢？这一两个综合变量包含有多少原来的信息呢？能不能利用找到的综合变量来对学生排序呢？这一类数据所涉及的问题可以推广到对企业，对学校进行分析、排序、判别和分类等问题。主成分分析例中的的数据点是六维的；也就是说，每个观测值是6维空间中的一个点。我们

4、希望把6维空间用低维空间表示。先假定只有二维，即只有两个变量，它们由横坐标和纵坐标所代表；因此每个观测值都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值；如果这些数据形成一个椭圆形状的点阵（这在变量的二维正态的假定下是可能的）那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。在短轴方向上，数据变化很少；在极端的情况，短轴如果退化成一点，那只有在长轴的方向才能够解释这些点的变化了；这样，由二维到一维的降维就自然完成了。主成分分析当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表长轴的变量就描述了数据的主要变化，而代表短轴的变量就描述了数据的次要变化。但是，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行。因此，

5、需要寻找椭圆的长短轴，并进行变换，使得新变量和椭圆的长短轴平行。如果长轴变量代表了数据包含的大部分信息，就用该变量代替原先的两个变量（舍去次要的一维），降维就完成了。椭圆（球）的长短轴相差得越大，降维也越有道理。主成分分析正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三个主轴一样，有几个变量，就有几个主成分。选择越少的主成分，降维就越好。什么是标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主轴长度之和的大约80%即可，其实，这只是一个大体的说法；具体选几个，要看实际情况而定。§9.1主成分分析的

6、概念现假定在某次研究过程中有观测变量：X1、X2……Xm，定义因素：F1、F2……Fn。其关系可以用下述线性方程组表示：X1=P11F1+P12F2……P1nFn+E1X2=P21F1+P21F2……P2nFn+E2……Xm=Pm1F1+Pm2F2……PmnFn+Em方程中的系数Pij(i=1…m，j=1…n)称为因素的系数，表示因素对某个变量的贡献，即“因素载荷”。Fi之间彼此是正交的，即彼此是不相关的。常数EI称为残差。主成分分析法还定义了一个表达每个因素对所有变量的总贡献的量：特征值“Eigenvaluej”。即：因素载荷Pij的平方和。通常认

7、为，特征值“Eigenvaluej”越大越好，当特征值低于1，则该因素就没有意义了。因素分析的过程就是求出该方程组的因素载荷及残差。如果在方程中残差EI的值很小，可以忽略，方程将变成齐次的，则能够产生变换方程：F1=A11X1+A12X2……A1nXmF2=A21X1+A21X2……A2nXm……Fn=Am1X1+Am2X2……AmnXm式中的Fi为主成分向量。而Aij所形成的矩阵称为主成分变换矩阵。按照各个变量对因素的方差分析情况将可以产生主成分分析(PrincipalComponentsAnalysis)的结果。由各个变量描述的因素将通过变量贡献

8、的大小依次排列，其中前几个因素就集中了对大部分变量的载荷。因此，只需选用前几个因素就把所有变量描述的主要性质