数值分析习题解答8.pdf

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1、习题八习题解答1.取步长h=0.2,用欧拉方法解初值问题2⎧y′=−y−xy⎨(0≤x≤0.6)⎩y(0)=12解：由f(x，y)=–y–xy，欧拉公式为2yn+1=yn+h[–yn–xnyn]即2yn+1=(1–h)yn–hxnyn由y0=1计算，得y1=0.8，y2=0.6144，y3=0.46132.用梯形公式解初值问题⎧y′=8−3y⎨(1≤x≤2)⎩y(1)=2取步长h=0.2,小数点后至少保留5位.解：由f(x，y)=8–3y，梯形公式为yn+1=yn+0.5h[(8–3yn)+(8–3yn+1)]将h=0.2代入并整理，得716y=y+n+1n1313由

2、y0=2计算，得y1=2.30769，y2=2.47337，y3=22.56258，y4=.61062，y5=2.636493.用改进的欧拉公式计算初值问题⎧112⎪y′=y−y⎨xx(1

3、2380.54550.56520.58330.6000-4-4-4-4-4yn–y(xn)00.2570×100.4503×100.5962×100.7066×100.7902×104.写出用梯形公式求解初值问题⎧y′+y=0⎨⎩y(0)=1−5的计算格式,取步长h=0.1,并求y(0.2)的近似值,要求迭代误差不超过10.45h解：由梯形公式为：y=y−[y+y]，故计算格式为n+1nnn+122−hy=yn+1n2+h故，y1=0.9048，y2=0.8186。5.试建立求解初值问题⎧y′=f(x,y)⎨y(x)=a⎩0的如下差分格式:hy=y+(3f−f)n+1

4、nnn−12解：利用线性插值公式，得1f(x,y)≈[(x−x)f+(x−x)f]nn−1n−1nh积分，得xn+11xn+1xn+1f(x,y)dx≈[(x−x)dxf+(x−x)dxf∫x∫xnn−1∫xn−1nnhnn13=h[−f+f]n−1n22所以，有hy=y+(3f−f)n+1nnn−126.对初值问题⎧y′=−y⎨⎩y(0)=1证明用梯形公式所求得的近似解为2−hny(nh)≈y=()(x=nh)n2+h−x证明当h→0时,它收敛于精确解e.证明：由梯形公式，得hy=y−[y+y]n+1nnn+12所以2−hy=yn+1n2+h故2−hn2−hny=(

5、)y=()n02+h2+h由于2+h22+h22−hn2hnh2hxn()=(1−)2h2+h=(1−)2h2+h2+h2+h2+h46利用极限1lim(1−x)x=e−1x→0得2+h22−hn2hxn+h−xlim()=lim(1−)2h2=enh→02+hh→02+h−x即，当h→0时,它收敛于精确解e7.写出用四阶经典龙格-库塔方法求解初值问题⎧y′=8−3y⎨⎩y(0)=2的计算公式,取步长h=0.2,并计算y(0.4)的近似值,小数点后至少保留4位.8.证明公式⎧hy=y+(2K+3K+4K),⎪n+1n1239⎪K=f(x,y),⎪1nn⎪⎨hhK=f(

6、x+,y+K),⎪2nn122⎪⎪33K=f(x+h,y+hK).⎪⎩3n4n42至少是三阶方法.4证：只须证明公式的局部截断误差为O(h)即可。容易验证y′′(x)=f(x,y)+f(x,y)y′(x)nxnnynnn2y′′′(x)=f(x,y)+2f(x,y)y′(x)+f(x,y)[y′(x)]nxxnnxynnnyynnn+f(x,y)y′′(x)ynnn于是K=f(x,y)=y′(x)1nnn22hhh3K=y′(x)+y′′(x)+y′′′(x)−y′′(x)f(x,y)+O(h)2nnnnynn288233hK=y′(x)+hy′′(x)+y′′(x)

7、f(x,y)3nnnynn4421321323+(h)y′′′(x)−(h)y′′(x)f(x,y)+O(h)nnynn2424所以h12134(2K+3K+4K)=hy′(x)+hy′′(x)+hy′′′(x)+O(h)123nnn926故12134y=y+hy′(x)+hy′′(x)+hy′′′(x)+O(h)n+1nnnn26而4712134y(x)=y(x)+hy′(x)+hy′′(x)+hy′′′(x)+O(h)n+1nnnn26比较两式，知公式的局部截断误差至少是四阶，因此该公式至少是三阶方法。9.证明12y=(4y−y)+hy′n+1n