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时间:2020-07-30
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1、1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积一.直棱柱的表面积1.直棱柱的侧面积等于它的底面周长c和高h的乘积,即S直棱柱侧=c·h.一.直棱柱的表面积1.直棱柱的侧面积等于它的底面周长c和高h的乘积,即S直棱柱侧=c·h.2.直棱柱的表面积就等于侧面积与上、下底面面积的和.3.斜棱柱的侧面积,可以先求出每个侧面的面积,然后求和,也可以用直截面周长与侧棱长的乘积来求.其中直截面就是和棱垂直的截面.如果斜棱柱的侧棱长为l,直截面的周长为c’,则其侧面积的计算公式就是S侧=c’·l.二.正棱锥的表面积1.正棱锥的侧面积等于它的底面周
2、长和斜高乘积的一半,即S正棱锥侧=na·h’.其中a为底面正多边形的边长,底面周长为c,斜高为h’,二.正棱锥的表面积二.正棱锥的表面积1.正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半,即S正棱锥侧=na·h’.其中a为底面正多边形的边长,底面周长为c,斜高为h’,2.正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积与底面积之和.如上图,以正四棱锥为例简单推导计算公式。由于正四棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形,底面是正多边形,若设它的底面边长为a,底面周长为4a,斜高为h’,容易得到正四棱锥的侧面积计算公式为S正四棱锥侧=·4a·
3、h’=ch’,对于正n棱锥,其侧面积计算公式为S正棱锥侧=c·h’.三.正棱台的表面积1.正棱台的侧面积是S=(c+c’)·h’,其中上底面的周长为c’,下底面的周长为c,斜高为h’.三.正棱台的表面积1.正棱台的侧面积是S=(c+c’)·h’,其中上底面的周长为c’,下底面的周长为c,斜高为h’.2.正棱台可以看作是用平行正棱锥底面的平面截得的,因此正棱台的侧面展开图是一些等腰梯形,3.正棱台的表面积等于它的侧面积与底面积之和。设正棱台上、下底面周长为c’,c,斜高为h’,可得正棱台的侧面积S正棱台侧=(c+c’)·h’
4、。四.圆柱、圆锥、圆台的侧面积(1)将圆柱沿一条母线剪开后,展开图是一个矩形,这个矩形的一边为母线,另一边为圆柱底面圆的圆周长,设圆柱底面半径为r,母线长为l,则侧面积S圆柱侧=2πrl.O`O(2)将圆锥沿一条母线剪开,展开在一个平面上,其展开图是一个扇形,扇形的半径为圆锥的母线,扇形的弧是圆锥底面圆的圆周,因此该扇形的圆心角θ=,r为圆锥底面半径,l为圆锥的母线长,根据扇形面积公式可得:S圆锥侧=·2πr·l=πrl,其中l为圆锥母线长,r为底面圆半径。(3)圆台可以看成是用一个平行底面的平面截圆锥所得,因此圆台的侧面
5、展开图是一个扇环,设圆台上、下底半径为r、R,母线长为l,则S圆台侧=π(r+R)l=(c1+c2)l,其中r,R分别为上、下底面圆半径,c1,c2分别为上、下底面圆周长,l为圆台的母线。五.球的表面积球面面积(也就是球的表面积)等于它的大圆面积的4倍,即S球=4πR2,其中R为球的半径.例1.一个长方体的长、宽、高分别为5、4、3,求它的表面积。解:长方体的表面积S=2(5×4+4×3+5×3)=94.例2.已知正四棱锥底面正方形长为4cm,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积及全面积.(单位:cm2,精确到0.0
6、1)解:正棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成直角三角形。因为OE=2,∠OPE=30°,所以斜高因此S侧=ch’=32(cm2)S全=S侧+S底=48(cm2)例3.如图所示是一个容器的盖子,它是用一个正四棱台和一个球焊接而成的。球的半径为R,正四棱台的两底面边长分别为3R和2.5R,斜高为0.6R;(1)求这个容器盖子的表面积;(2)若R=2cm,为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1m2,计算100个这样的盖子涂色需涂料多少千克(精确到0.1kg)。S正四棱台=4××(2.5R+3R)×0.6R+(2.5R
7、)2+(3R)2=21.85R2.S球=4πR2.因此,这个盖子的全面积为S全=(21.85+4π)R2.解:(1)因为(2)取R=2,π=3.14,得S全=137.67cm2.又(137.67×100)÷10000×0.4≈0.6(kg),因此涂100个这样的盖子共需涂料0.6kg.例4.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm2和400πcm2,求球的表面积.解:由截面圆的面积分别是49πcm2和400πcm2,解得AO1=20cm,BO2=7cm.设OO1=x,则OO2=x+9.所以R2=x2
8、+202=(x+9)2+72.解得x=15(cm).所以圆的半径R=25(cm).所以S球=4πR2=2500π(cm2)练习题:1.将一个边长为a的正方体,切成27个全等的小正方体,则表面积增加了()(A)6a2(B)12a2(C)18a2(D)24a2B2.在正方体的八个顶点中,有四个恰好是正四面体
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