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《晶格振动模式密度状态方程和热膨胀课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§3-9晶格振动模式密度为了准确地求出晶格热容以及它与温度的变化关系,必须用较精确的办法计算出晶格振动的模式密度（也称频率分布函数）原则上,只要知道了晶格振动谱ωj(q),就知道了各个振动模的频率,也就知道了模式密度函数g(ω)一般来说,ω与q之间的关系是复杂的,除非在一些特殊情况下,得不到g(ω)的解析表达式,因而往往要用数值计算铜晶体的模式密度实际的晶体的模式密度与Debye近似下的模式密度，除在低频极限以外，存在一定差别这说明为什么Debye热容理论只是在及低温下才是严格正确的,因为此时只有低频振动模有贡献在讨论晶体的某些电学性质、光学性
2、质时,也要用到晶格振动模式密度函数了解晶格振动模式的意义不仅局限于晶格热容量的量子理论。实际上计算所有热力学函数时都要涉及到对各个晶格振动模的求和,这就需要知道模式密度函数定义Δn表示在ω－ω+Δω间隔内晶格振动模式的数目,如果在q空间根据作出等频率面,那么在等频率面ω和ω＋Δω之间的振动模式的数目就是Δn1.模式密度的一般表达式由于晶格振动模（格波）在q空间分布是均匀的,密度是V/(2π)³,因此等频率面间的体积可表示成对体积元dSdq在面上的积分dq两等频率面间的垂直距离dS为等频率面的面积元有因为表示沿法线方向频率的改变率,因此从而得到模
3、式密度的一般表达式一维单原子链由于是一维情况,q空间的密度约化为L/2π,L=Na为单原子链的长度等式右边的因子2来源于ω(q)具有中心反演对称,q>0和q<0区间是完全等价的。从而有2.几种特例在dq间隔内的振动模式密度数目为dq×L/2π,dω频率间隔内的振动模式数目为对于一维单原子链,只计入最近邻原子之间的相互作用,有其中ωm为最大频率。得到是前面公式在一维情况时的简化形式Debye近似下的模式密度Debye近似的核心就是假定频率正比于q,即代入到,得到就是Debye近似下的模式密度函数一维单原子链一维Debye模型经常遇到的另一种情形ω
4、只与q的绝对值q有关,对于三维情况在q空间等频率面为球面,半径为在球面上是一个常数,因此若是二维情况,q空间也约化为二维空间,等频率面实际为一个圆,q空间中的密度为S/(2π)²,(S为二维晶格的面积),则同理,若是一维情况总之,在色散关系具有平方形式时,在三维、二维、一维情况下,模式密度分别与频率ω的1/2,0,－1/2次方成比例一维单原子链,ω＝ωm(或q=±π/a)就是一个临界点,在这一点g(ω)趋向无穷在ω(q)对q的梯度为零的地方,g(ω)应显示出某种奇异性,称▽qω(q)=0的点为范霍夫奇点,也叫临界点范霍夫奇点临界点是和晶体对称性
5、相联系着的,它常常出现在布里渊区的某些高对称点上。晶体的模式密度函数中显现的临界点的数目,是由晶体的拓扑性质所决定的实际的三维晶体,模式密度函数曲线中显现出一些尖锐的峰和斜率的突变。这些斜率的突然变化(一级微商不连续)与临界点(范霍夫奇点)相对应§3-9晶格振动模式密度小结模式密度的一般公式几种特例：一维单原子链Debye模型平方型色散关系§3-10晶格的状态方程和热膨胀如果已知晶体的自由能函数F(T,V),V为晶体的体积,就可以根据写出晶格的状态方程。自由能函数可以写成Z为配分函数连加式是对所有晶格的能级Ei相加1.晶格状态方程能级Ei除包括
6、原子处于格点位置时的平衡晶格的能量U(V)外,还有各格波的振动能j标志各不同的格波，nj为相应的量子数配分函数Z包括系统的所有量子态,因此应分别对每个nj=0,1,2,…,相加，从而得到代入自由能公式得到3.9写出量子谐振子系统的自由能,证明在经典极限,自由能为练习经典极限:当晶格体积改变时，格波频率也将改变，所以上式除U以外，各频率ωj也是宏观参量V的函数对V求微商得上式包含了个振动频率对V的依赖关系,因此具有很复杂的性质。Grüneisen针对这种情形,提出了一个有用的近似,把上式写成则括号内是平均振动能。式中表征频率随体积变化的是一个无量
7、纲的量Grüneisen假设它近似对所有振动相同,这样就可以写出Grüneisen的近似状态方程称为Grüneisen常数表示晶格的平均振动能由于一般ω随V增加而减小,γ具有正的数值Grüneisen方程可以直接用来讨论晶体的热膨胀原子不振动时的平衡晶格体积为V02.热膨胀热膨胀是在不施加压力情况下,体积随温度的变化,令p=0,则原子平均振动能随温度增加时，dU/dV必须取正值，这表示必须发生一定的膨胀ΔV使图线达到一定的正的斜率由于一般热膨胀ΔV/V0比较小,可以将dU/dV在V0附近展开,只保留ΔV的一级项,得到这里的正好是静止晶格的体变模
8、量K0当温度改变时，右方主要是振动能的变化对温度微商得到体积膨胀系数Grüneisen定律它表示当温度变化时,热膨胀系数近似和热容量成比例,对很多固体
