基本不等式（公开课）课件.ppt

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1、3.4基本不等式：这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。三、新知建构，典例分析问题引入:2002年国际数学家大会会标三国时期吴国的数学家赵爽三、新知建构，典例分析思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？探究1三、新知建构，典例分析问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积总和是S’=———问1：在正方形AB

2、CD中,设AF=a,BF=b,则AB=则正方形的面积为S=。问3：观察图形S与S’有什么样的大小关系？易得，s>s’,即ADCBHGFE问4：那么它们有相等的情况吗？何时相等？变化的弦图问题4：s,S’有相等的情况吗？何时相等？图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有形的角度数的角度当a=b时a2+b2－2ab=(a－b)2=0结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立探究2问5：当a,b为任意实数时，还成立吗？此不等式称为重要不

3、等式替换后得到：即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？一.基本不等式的推导:三、新知建构，典例分析证明：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法证明不等式：特别地，若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a>0,b>0二.基本不等式:适用范围

4、文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式三、新知建构，典例分析重要变形：（由小到大）三、新知建构，典例分析2.典例分析：题型一利用基本不等式求最值题型二基本不等式的实际应用三、新知建构，典例分析结论1：两个正数积为定值，则和有最小值题型一：利用基本不等式求最值配凑系数分析:x+(1-2x)不是常数.2=1为解:∵00.12∴y=x(1-2x)=∙2x∙(1

5、-2x)12≤∙[]22x+(1-2x)21218=.当且仅当时,取“=”号.2x=(1-2x),即x=14∴当x=时,函数y=x(1-2x)的最大值是.1418例2.若0

6、等式求最值的条件：一正、二定、三相等。a=ba=b三、新知建构，典例分析例3.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ABDC三、新知建构，典例分析题型二：基本不等式的实际应用例3.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x，CD=y，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用

7、的篱笆最短，最短的篱笆是40m.此时x=y=10.x=yABDC若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.例3.(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym2得xy≤81当且仅当x=y时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆为正

8、数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).14例4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池