回归分析的基本思想及其初步应用（二）课件.ppt

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1、3.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）高二数学选修2-3解：散点图：从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a简单描述它们关系。探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数。其中：e是随机误差，均值E(e)=0，方差D(e)=σ2>0当随机误差e恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型。即：一次函数模型是线性回归模型的特殊形式。由于随机误差e的均值为0，故采用方差来衡量随机误差的大小.产生随机误差项e的原因是什么

2、？随机误差e的来源(可以推广到一般）：1、其它因素的影响：影响体重y的因素不只是身高x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、身高x的观测误差。3、所用确定性函数不恰当观测误差。线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y的变化。在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变量y为预报变量。残差数据点和它在回归直线上相应位置的差异称为相应于点（xi，yi）的残差。例：编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）残差平方和把每一个残差所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：称为残差平方和

3、在例1中，残差平方和约为128.361。表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。残差分析与残差图的定义：我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。编号12345678身高165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。残差图的制作及作

4、用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点错误数据模型问题几点说明：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果

5、越好。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表解释刻画预报变量的能力。我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报

6、变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。例2一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收

7、集了7组观测数据列于表中：温度xoC21232527293235产卵数y/个711212466115325（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？y=c1x2+c2变换y=c1t+c2非线性关系线性关系问题１选用y=c1x2+c2，还是y=c1x2+cx+c2？问题3产卵数气温问题2如何求c1、c2？t=x2方法一，二元函数模型平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=b