2019年曲线的凹凸性课件.ppt

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1、3.4(2)曲线的凹凸性与拐点ConcavityandPointsofInflection一、曲线的凹凸性与拐点观察：曲线的弯曲方式曲线弧：上凹曲线弧：上凸弦在弧上方弦在弧下方凹弧的定义：凸弧的定义：如何判断曲线的凹凸？设曲线弧上凹单增Concaveupward下凸设曲线弧上凸单减Concavedownward下凹反之，能否由二阶导数的符号来判断曲线的凹凸？答案是肯定的定理2(曲线凹凸性的判定定理）设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，那么若在(a,b)内f’’(x)>0，则曲线y

2、=f(x)在[a,b]上是凹的若在(a,b)内f’’(x)<0，则曲线y=f(x)在[a,b]上是凸的证设将函数在(a,b)内展开为一阶Taylor公式：正的不等式成立推论：可以推广到n个数的情形拐点inflectionpoint拐点(x0,f(x0)):f’’(x0)在点x0两侧异号拐点inflectionpoint可能出现拐点的点x0:f’’(x0)=0或f’’(x0)不存在求曲线凹凸区间及拐点的步骤：p.149例9求下列曲线的凹凸区间和拐点解求下列曲线的凹凸区间和拐点凸区间：凹区间：拐点：wit

3、h(plots):A:=plot(2*x^3+3*x^2-12*x+14,x=-4..3):display(A,scaling=unconstrained,thickness=3);证明：三次曲线恰有一个拐点且三次曲线关于其拐点对称例10求下列曲线的凹凸区间和拐点解求下列曲线的凹凸区间和拐点拐点：with(plots):A:=plot(3*x^4-4*x^3+1,x=-0.5..1.3):display(A,scaling=unconstrained,thickness=3);