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1、课时教案授课章节及题目第四章曲线的凹凸性授课时间第15周周二第1、2节课次1学时2教学目标与要求(分掌握、熟悉、了解三个层次)曲线的凹凸性的判定定理，会求曲线的凹凸区间。教学重点与难点教学重点：利用二阶导数判断曲线的凹凸性的方法教学难点：导数不存在的连续点、也可能是曲线的凹凸区间的分界点。教学用具无教学过程环节、时间授课内容教学方法课程导入（10分钟）中值定理提问新课讲解（70分钟）一、曲线的凹凸与拐点1.凹凸性的概念:x1x2yxOf(x2)f(x1)讲解单调性、极值、最值新课讲解（70分钟）钟）x1x2yxOf(x2)f(x1)定义设在区间I上连续
2、,如果对I上任意两点,恒有,那么称在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有,那么称在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).定义¢设函数在区间I上连续,如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的.2.曲线凹凸性的判定定理设在上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么(1)若在内,则在上的图形是凹的;(2)若在内,则在上的图形是凸的.证明只证(1)((2)的证明类似).设,记.由拉格朗日中值公式,得,,,,两式相加并应用拉格朗日中值公式得讲解启发单调
3、性、极值、最值,,即,所以在上的图形是凹的.拐点:连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求出在二阶导数;(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;(4)判断或列表判断,确定出曲线凹凸区间和拐点;注:根据具体情况（1）、（3）步有时省略.例1.判断曲线的凹凸性.解:,.因为在函数的定义域内,,所以曲线是凸的.例2.判断曲线的凹凸性.解:因为,.令得.当时,,所以曲线在内为凸的;当时,,所以曲线在内为凹的.例3.求曲线的拐点.解:,，令,得.因为当时,;当时,,所以点(,)是曲线
4、的拐点.单调性、极值、最值例4.求曲线的拐点及凹、凸的区间.解:(1)函数的定义域为;(2),;(3)解方程,得,;(4)列表判断:(-¥,0)0(0,2/3)2/3(2/3,+¥)f¢¢(x)+0-0+È1Ç11/27È在区间和上曲线是凹的,在区间上曲线是凸的.点和是曲线的拐点.例5问曲线是否有拐点？解,.当时,,在区间内曲线是凹的,因此曲线无拐点.例6.求曲线的拐点.解(1)函数的定义域为;(2),;(3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为;(4)判断:当时,;当时,.因此,点是曲线的拐点.环节、时间授课内容教学方法单调性、极值、最值课后
5、作业（10分钟）课堂小结：曲线的弯曲方向——曲线的凹凸性;凹凸性的判定.改变弯曲方向的点——拐点;拐点的求法1,2.布置作业：P751、（2）（4）；2、（2）（4）；教学反思板书设计课程导入：单调性、极值、最值新课讲解介绍本次课程的主要内容课堂讲解作业单调性、极值、最值
