考研复习 矩阵课件.ppt

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1、第二章、矩阵年度000102030405060708小计矩阵性质与运算44444525可逆矩阵34411矩阵方程66矩阵的秩4551125过渡矩阵44一、最近八年全国研究生考试题目中本章内容分布情况下一页一个mn矩阵实质上是由mn个数组成的m行n列的表，它与行列式有本质的差别。二、矩阵的运算1、加法：A+B(同型矩阵)，是否满足：结合律、交换律2、乘法：AB(前列后行相同)，是否满足：结合律、交换律3、数乘矩阵：kA(注意与数乘行列式的差别)4、重要性质：(AB)T=BTAT，(A±B)T=AT±BT，(AT)T=A下一页三、特殊的矩阵行(列)矩阵、对

2、角矩阵、上下三角阵、单位阵、零阵、数量阵(纯量阵，数与单位阵乘积的结果)、对称矩阵、反对称阵、正交矩阵、正定矩阵、可逆矩阵、初等方阵。四、矩阵的可逆1、定义：如果AB=BA=E，则有B=A-1，A=B-1。2、性质(AB)-1=B-1A-1，(A-1)-1=A，(A-1)T=(AT)-1。但是(A+B)-1A-1+B-1，(AB)-1A-1B-1，

3、kA

4、k

5、A

6、。下一页3、对于n阶方阵，下述8条等价(判断矩阵可逆的方法)：1)、A可逆;2)、A的标准形式为E；3)、A与E等价;4)、方程AX=0只有零解;5)、A为满秩阵;6)、

7、A

8、≠0；7)、

9、0不是A的特征值。8)、A的行(或列)向量组线性无关；此外，1)、分块上(下)三角形、分块对角阵，并且对角阵上的分块都可逆。2)、若A是奇数阶实反对称方阵，则A不可逆。下一页五、求逆阵的方法1、已知方阵的元素，且矩阵有相当多的元素为零或是二阶方阵：先计算

10、A

11、，然后利用伴随阵，A*A=

12、A

13、E。2、已知方阵的元素，利用初等变换(A，E)~(E，A-1)(只能利用初等行变换)3、看能否找出一个矩阵B，使得AB=kE(k≠0)此时B=kA-1。这一种方法的技巧性较强，只有“熟”才能“巧”。下一页六、矩阵的秩1、行向量组的秩；2、列向量组的秩；3、不为零的最高

14、阶子式的阶；4、AB(行阶梯形)，等于B的非零行的个数；5、max{r(A)，r(B)}r(A,B)r(A)+r(B)；r(AB)min{r(A)，r(B)}6、r(A)=r(AT)；7、r(A+B)r(A)+r(B)；下一页七、矩阵的初等变换作一次初等行变换左乘一个相应的初等方阵作一次初等列变换右乘一个相应的初等方阵八、关于伴随矩阵的一个非常重要的结论：AA*=A*A=

15、A

16、EA-1=A*/

17、A

18、下一页九、举例例1、若A2+2A+3E=0，则对任意实数t，均有A+tE可逆，并求A-1。证明：由于A2+2A=-3E，所以(A+tE)[A+(

19、2-t)E]=(A2+2A)+(2t-t2)E=-(t2-2t+3)E设k=-(t2-2t+3)=-[(t-1)2+2]-2，当然k≠0，从而A+tE可逆，且本例属于构造性证明。前两种方法均不能用。当然也可以利用任意实数均不是A的特征值而得到结论。但得不出A-1。下一页如果我们美食一顿之后，一定会回味无穷！觉得确实不错。这儿的“回味”就是要想一想为什么好？看一看到底味道好在什么地方。做了一道题目之后，也要总结，看你所使用的方法是否巧妙？妙在什么地方？这样才有进步。利用本题的方法可以求解下述题目：对于满足A2+aA+bE=0。在下一页时都有A+kE可逆。

20、例2、已知矩阵B，C，求矩阵A。其中A(E-C-1B)TCT=E注意：本例显然要先化简！下一页解：对于研究生入学考试题而言，如果只是求逆阵，肯定还要作其它方面的工作！A=[(E-C-1B)TCT]-1={[C(E-C-1B)]T}-1=[(C-B)T]–1=(CT-BT)–1剩下的自己做做看！本题要考试的知识点有：(AB)T=BTATATBT；(A±B)T=AT±BT；(A±B)-1A-1±B-1；与本题类似的题目：已知矩阵A(知道元素！)，计算[(A*)T]-1。下一页例3、设

21、A

22、=2且A为4阶方阵，计算：解：所以本例的题型在全国考研试题中还未出

23、现！下一页(2A)*=

24、2A

25、(2A)-1=24•

26、A

27、•½A-1=16A-1例4、设A为n阶可逆阵，将A的第i列，第j列交换，将矩阵A变换得阵B。①证明B可逆；②求B-1A。证：设交换第i列,第j列的初等方阵为E(i,j)，显然E(i,j)-1=E(i,j)。①B=AE(i,j)，

28、B

29、=-

30、A

31、0，所以矩阵B可逆。②B-1A=(AE(i,j))-1A=(E(i,j)A-1)A=E(i,j)。例5、A为n阶正交阵则AB为正交阵的充分必要条件是：B为正交阵。(证明充分性、必要性的方法)例6、设A=(aij)为7阶非零方阵，Aij为元素aij的代数余子式

32、，且aij=Aij。证明：A为正交阵。证明：因为A=(aij)为非零实方阵，所以