经典高等数学课件D3-6函数图形的描绘,D3-7曲率.ppt

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1、第六节一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘函数图形的描绘第三章1无渐近线.某一直线L的距离趋于0,一、曲线的渐近线1.定义.若曲线C上的点P沿着曲线无限地远离原点时,点P与则称直线L为曲线C的渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标的差”“横坐标的差21)水平渐近线(平行于轴的渐近线)如果那么就是的水平渐近线.2.需掌握的几类渐近线：2)铅直渐近线如果那么就是的垂直渐近线.(垂直于轴的渐近线)显然是的无穷间断点;故应从的间断点中找33)斜渐近线斜渐近线求法:注意:4斜渐近线斜渐近线若(P76

2、题14)5例1.解:求的渐近线.所以有铅直渐近线且则有斜渐近线所以它没有水平渐近线;6步骤:1.确定函数的定义域,2.求并求出3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点(如与坐标轴的交点),描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周期性;函数图形的描绘需综合研究函数性态,是导数应用的综合.二、函数图形的描绘7例1.解:非奇非偶函数,且无对称性.8列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极小间断9作图拐点极小值间断点渐近线：10.在区间上是凸

3、弧;拐点为在区间上是凹弧;则函数f(x)的图形的图形如图所示,例2.例3.设函数在内连续,其导函数的图形如图所示,则有一个极小值点和两个极大值点.两个极小值点和一个极大值点.两个极小值点和两个极大值点.三个极小值点和一个极大值点.11思考与练习1.曲线(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.第一题的提示:的渐近线.2.曲线3.曲线的渐近线.12在工程技术问题中，有时需要研究曲线的弯曲程度，如：桥梁在荷载作用下会产生弯曲程度，因此在设计房屋、

4、桥梁等建筑结构时，都要考虑所允许的弯曲程度，否则会造成质量事故；又如：在公路、铁路的转弯处，为使车辆平稳地转入弯道，需考虑道路的弯曲程度---曲率请读下面文字：第七节一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径曲率13一、弧长函数及其微分1.光滑曲线：内具有一阶连续导数(连续转动的s取正号，否则,s取负号.显然：弧长函数是单调增加函数.方向与曲线正向一致时，规定：曲线正向是指依x增大的方向.（2）在上述规定下，就确定了一个弧长函数2.弧长函数大小等于的长度，切线),则称曲线为光滑曲线.的

5、值s规定如下：（1）光滑曲线上有向弧143.弧微分---弧长函数的微分则对应曲线上的点弧s的增量为则因为是单调增加函数于是弧微分为弧微分公式15则有ddddydxds则弧微分为若曲线由参数方程表示:4.弧微分的几何意义：就是曲线上点处的切线上的长度.所以称为微分三角形.ds16二、曲率及其计算公式曲率:是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量．))1.影响曲线弯曲程度的因素：(1)切线转角的大小.(单位弧长转角大的弯曲的很)(2)弧的长度.(转角一定,弧短的弯曲的很)...)172.定义：(1)平均曲率

6、：(2)曲线在点M处的曲率：单位弧段上切线转角的大小.)yxo当时，平均曲率的极限叫做该曲线在点M处即的曲率.则存在，若即曲率是切线的倾角对弧长的导数的绝对值.183.曲率的计算公式对于弧确定了两个函数:故曲率yxo说明:(1)公式中的是函数的一阶,二阶导数；(2)拐点处的曲率为零.(3)直线在任一点处的曲率为零.直线的曲率处处为零.19(4)若曲线由参数方程给出,则公式也适用例1.求在点处的曲率.解:又20例2.计算半径为的圆在任一点处的曲率.解:设圆方程为则注意:圆上各点处的曲率等于半径的倒数

7、,且半径越小曲率越大.解法二:若设圆方程为21例3.解:显然,有曲率近似计算公式22了解：我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.求此缓和曲线在其两个端点且l<

8、公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D使24(1)曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.3.曲率与曲率半径的关系:(2)曲线上一点处的曲率半径越大,曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);(称为曲线在该点附近的二次近似).即说明：研究曲率圆的意义---近似计算25例4.设一工件内表面的截痕为,现要用砂轮磨削其内表面,问选择直径多大的砂轮比较