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1、一、离散型二、连续型（和的分布）下页§3.3二维随机变量函数的分布例1．已知(X,Y)的联合分布律,-1,0,2,3,5,且求Z=X+Y的概率分布.解：Z=X+Y的所有可能取值为P{Z=-1}=P{X+Y=-1}=P{X=-1,Y=0}=1/10,P{Z=0}=P{X+Y=0}=P{X=-1,Y=1}=1/20,P{Z=2}=P{X+Y=2}=P{X=-1,Y=3}+P{X=2,Y=0}=3/20+3/10,P1/101/209/2004/10Z-10235下页一、离散型同理，P{Z=3}=0，P{Z=5}=4/20.所求分布律为1/101/203
2、/203/1004/10-12013XY例2.设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为l1与l2的Possion分布，令Z=X+Y，试求Z的分布律.解：由随机变量X与Y的取值都是0,1,2,…,可知Z=X+Y的取值也是0,1,2,…,对于n=0,1,2,…,有即Z=X+Y服从参数为l1+l2的Possion分布.下页由对称性可得下页二、连续型问题：设(X,Y)的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度fZ(z).根据分布函数定义有对z求导，得Z的概率密度fZ(z)为x+y=zxyo下页问题：设(X,Y)的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y
3、的概率密度fZ(z).Z的概率密度fZ(z)为二、连续型卷积公式若X,Y相互独立，则f(x,y)=fX(x)·fY(y)，代入上式得例3．设X和Y是两个互相独立的随机变量，且X～N(0,1),Y～N(0,1)，求Z=X+Y的概率密度.解：由于X,Y互相独立，由卷积公式得下页卷积公式从而有，Z=X+Y～N(0,2).解:下页下页下页方法小结：①确定非零联合密度对应的积分变量的区间：⒈确定fX(x),fY(z-x)各自的非零定义域A与B；⒉A与B的交集即为所求.②确定积分变量的积分限：⒈将A与B的交集映射成平面坐标系中的区域；⒉根据(变常数)z的变化，
4、确定x的变化范围.记忆要点：连续类型巧计算，技巧在于积分限；边缘密度非零域，交集映射便可见.解:下页下页解：用分布函数法例6.设X,Y相互独立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函数.现考虑f(x,y)>0的区域与x+y≤z的取值，分四种情况计算.①当z<0时，Fz(z)=0；②当z>2时，Fz(z)=1；下页③当0≤z≤1时，现考虑f(x,y)>0的区域与x+y≤z的取值，分四种情况计算.④当10的区域
5、与x+y≤z的取值，分四种情况计算.下页解：用分布函数法例6.设X,Y相互独立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函数.作业：71页18补充题：设X,Y相互独立，fX(x)和fY(y)如下，用卷积公式求Z=X+Y的概率密度函数.结束下页补充题：设X,Y相互独立，fX(x)和fY(y)如下，用卷积公式求Z=X+Y的概率密度函数.解:
