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1、第二章非线性方程的数值解法考察下列方程f(x)=0f(x)可以是代数多项式，也可以是超越函数。求解精确解一般不可能，只能寻求数值解。§2.1二分法若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0则方程f(x)=0在区间[a,b]上至少有一个实数根。二分过程：（假定有根区间仅一个实数根x*）如果f(a)f((a+b)/2)<0，则在区间[f(a),f((a+b)/2]上有实数根。如果f((a+b)/2)f(b)<0，则在区间[f((a+b)/2,f(b)]上有实数根。于是，新的有根区间仅为原有根区间的一半，记作[a1,b1]，
2、重复上述二分过程，可得区间宽度不断减半的有根区间序列[a,b][a1,b1][a2,b2]…[ak,bk]…其中令有根区间[ak,bk]的中点xk=(ak+bk)/2为x*的近似值，在上述二分过程中，得到如下x*的近似值序列x0,x1,x2,…,xk,…由于对于预先设定的精度ε>0，只要便有此时xk为满足精度要求的近似解。kakbkxkf(xk)的符号01.00001.50001.2500-11.25001.50001.3750+21.25001.37501.3125-31.31251.37501.3438+41.31251.34381
3、.3281+51.31251.32811.3203-61.32031.32811.3242-表2.1x6=1.324≈x*
4、x*-x6
5、≤≈0.0039≤0.005例2.1用二分法求方程f(x)=x3-x-1=0在区间[1,1.5]内的一个实根，要求误差不超过0.005。解：由公式（2.3）估计二分的次数于是，只要二分6次即可达到精度要求，二分过程见表2.1§2.2Jacobi（简单）迭代法1、Jacobi迭代法的基本原理考察方程f(x)=0x=φ(x)在根x*的附近取一点x0作为x*的预测值，有x1=φ(x0)重复上述步骤，有如下迭代
6、公式xk+1=φ(xk)(k=0,1,2,…)其中φ(x)为迭代函数，x0,x1,…,xk,…为迭代序列。等价形式如果迭代序列{xk}的极限存在，即x*=xk则迭代过程收敛。如果迭代序列{xk}的极限不存在，迭代过程发散。(a)迭代收敛(b)迭代发散例2.2求方程f(x)=x3-x-1=0在x=1.5附近的根x*的近似值。解：将方程f(x)=0改写为如下等价形式x=(x+1)(1/3)迭代公式为xk+1=(xk+1)(1/3)(k=0,1,2,…)取x0=1.5，计算过程用6位有效数字表示，迭代结果见表2.2表2.2k012345678
7、x(k)1.500001.357211.330861.325881.324941.324761.324731.324721.32472如果将原方程改写为如下等价形式x=x3-1则有迭代公式xk+1=(xk)3-1迭代初值x0=1.5，则有x1=2.357,x2=12.39,…迭代过程发散。2、Jacobi迭代过程的收敛性定理2.1如果迭代函数φ(x)满足如下条件（1）对任意x[a,b]，有a≤φ(x)≤b（2）存在正数L<1，使对任意x[a,b]，有
8、φ’(x)
9、≤L<1则迭代过程xk+1=φ(xk)对任意x0[a,b]均收敛于方程x=
10、φ(x)的根x*，且有如下误差事后估计式证：由微分中值定理
11、x*-xk
12、=
13、φ(x*)-φ(xk-1)
14、=
15、φ’(ξ)(x*-xk-1)
16、≤L
17、x*-xk-1
18、式中ξ为x*与xk-1之间的一点。据此反复递推
19、x*-xk
20、≤L
21、x*-xk-1
22、≤L2
23、x*-xk-2
24、≤…≤Lk
25、x*-x0
26、显然，当k→∞时，xk→x*,迭代序列{xk}收敛于x*。为确保收敛，全体迭代值xk应在[a,b]上取值，为此对任意x[a,b]，均有φ(x)[a,b]。对任意正整数p，有
27、xk+p-xk
28、≤
29、xk+p-xk+p-1
30、+
31、xk+p-1-xk+p-2
32、+
33、…+
34、xk+1-xk
35、=(Lp-1+Lp-2+…+1)
36、xk+1-xk
37、固定k并令p→∞,有定义2.1称迭代过程在根x*的附近具有局部收敛性，指的是如果存在邻域△:
38、x-x*
39、≤δ，迭代过程xk+1=φ(xk)对任意初值x0△收敛。由此可见，只要前后两次迭代值得差值足够小，就可使近似值xk+1达到任意精度。一般情形下，用
40、xk+1-xk
41、<ε来控制迭代精度。定理2.2设φ(x)在方程x=φ(x)根的附近有连续的一阶导数，且
42、φ’(x)
43、<1则迭代过程xk+1=φ(xk)具有局部收敛性。例2.3求方程x=e-x在x=0.5附近的一个根，要
44、求精度ε=10-5。解：通过搜索方法，得有根区间[0.5,0.6]，且有φ’(x)≤=exp(-0.5)<1迭代公式xk+1=e-xk对迭代初值x0=0.5收敛。由此得Newton迭代格式Newton迭代法
