常微分方程的初值问题课件.ppt

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1、第二章常微分方程的初值问题本章要研究的物理问题：经典动力学中的有序和混沌本章内容4简单方法123多步法和隐式法龙格库塔法稳定性问题4动力学中的有序和混沌52.0引子常微分方程是物理学中经常碰到，以一维运动粒子为例一般形式为M个藕合的一阶方程实际问题往往涉及不止一类问题，例如对偏微分方程分离变量时，同时得到分离开来的初值问题与本征问题。本章只讨论初值问题常微分方程定解问题的分类本征值问题边界值问题初值问题给定待求函数在某个初始点上的值在自变量的两个端点上对待求函数施加约束含有待定参数，只有在参数取特定值时，方

2、程才有非零解2.1简单方法1).离散化：将区间[0,1]分为N个等间隔的子区间，每个区间宽度为h=1/N待求问题求x=1处y的值策略2).寻找一个递推关系，把yn同{yn-1,yn-2,…}联系起来。局部误差为O(h2)在xn点，将微分方程左边的微分用向前差分公式替代欧拉法得到递推关系全局误差为NO(h2)≈O(h)精度太低！例子：牛顿动力学方程一维运动的粒子方程为用欧拉法写出具体的递推关系欧拉法的Matlab实现标量形式矢量形式forn=1:Nx(n+1)=x(n)+h*p(n)/mp(n+1)=p(n)

3、+h*g(x(n),t(n))endf=@(x,t)[x(2)/m,g(x(1),t)]forn=1:Nz(n+1,:)=z(n,:)+h*f(z(n,:),t(n))end这个公式在已知f的解析形式时很好用。阶数增大时，变得复杂。泰勒级数法将yn+1在yn附近做泰勒展开而又已知从而有练习：推导三阶泰勒级数法2.2多步法和隐式法在子区间[xn,xn+1]将微分方程写成积分形式关键在于对积分号下的f(x,y)取合理的近似欧拉法实际上将f(x,y)近似为f(xn,yn)利用f在xn-1和xn处的值通过线型插值得

4、到f在积分区域的值多步法为了获得更高的精度，可以将yn+1不仅仅是同yn，而且还同更早的点，如yn-1,yn-2等点相联系例如:代入积分公式得Adams-Bashforth二步积分法类似的，Adams-Bashforth四步积分法为多步法有个小麻烦：最初几个格点的启动值需要通过其它的积分法如欧拉法、泰勒级数法来获得隐式法在区间[xn,xn+1]上过fn，fn+1两点对f插值，得带入积分公式得隐式法意味着在每一个积分步都必须解一个方程，会非常耗时。一个特别简单的情况是，如果f对于y是线性的，即f(x,y)=g

5、(x)y，则上面的方程可以为得到其显式解利用fn-1,fn,fn+1三个值在区间[xn,xn+1]对f进行二次多项式插值，得到隐式递推关系Adams-Moulton方法——多步隐式法带入积分公式得先通过显式法“预报”一个yn+1的值，然后利用隐式法来校正得到一个更精确的值。这样的算法有个优点，它可以持续监控积分的精度。用三次多项式插值，得到相应的三步法为隐式法很少直接使用，它通常用在预报校正算法中一个常常使用的具有局域误差O(h5)的预报校正算法：显式的Adams-Bashforth四步法Adams-Mou

6、lton三步法练习：简谐振子方程2.3Runge-Kutta法思想：从欧拉法说起在子区间[xn,xn+1]将微分方程写成积分形式中值定理平均斜率欧拉法就是用xn点的斜率近似[xn,xn+1]区间的平均斜率Kave改进的欧拉法K1、K2分别是xnxn+1点处的斜率但是由于yn+1待定，因此需要做“预报”用xnxn+1两点斜率的平均值来近似[xn,xn+1]平均斜率思想：为了提高精度，多取几点的斜率值作为加权平均当作平均斜率其中αi(i=1,2,...,m)和νij(i=2,3,...,m且j

7、unge-Kutta法将上式展开到O(hm)，得到m个方程，而有m+m(m−1)/2个待定参数αi,νij.所以还有灵活选择的空间以m=2为例,Runge-Kutta法公式为其中将K2做泰勒展开到O(h2)项，得利用将yn+1在xn点附近做泰勒展开至O(h2)项，得两式相比，有可选解为或若取得二阶Runge-Kutta法二阶Runge-Kutta法与二阶泰勒级数法比较可以看出，相比二阶泰勒级数法而言，二阶Runge-Kutta法适用性更广，使用也更为方便三阶Runge-Kutta法最为常用的是四阶Runge

8、-Kutta法通常认为四阶Runge-Kutta法在效率和精度间达到了最好的平衡练习：四阶Runge-Kutta法处理一阶常微分方程f=@(x,y)(-x*y);y(1)=1;fori=1:nK1=f(x(i),y(i));K2=f(x(i)+h/2,y(i)+h*K1/2);K3=f(x(i)+h/2,y(i)+h*K2/2);K4(i)=f(x(i)+h,y(i)+h*K3);y(i+1)=y(i)+1/6*