定积分应用课件.ppt

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1、第六节定积分的应用一、微元法按定积分概念，定积分取决于函数和它的定义区间。定积分对于区间具有可加性是指区间上对应的总量等于所有子区间上对应的部分量之和。凡是需要用定积分来度量的量，必须具有可加性这一基本特征。若函数在区间上连续，变上限积分对积分上限的导数为也就是说用定积分度量的整体量在内子区间上所对应的部分量的近似值就是在点的微分，即按微分概念，子区间上部分量与近似值之差为时，比高阶的无穷小通常把定积分度量的量在的子区间上所对应的部分量近似为子区间长度的线性函数。称为积分量的微元（元素）用微元法解决具体问题时，在确定积分变量和积分区间之后，关键步骤是找出积

2、分量的微元，然后计算定积分按定积分微元法概念：⑴无限细分：将函数的定义区间细分成无穷多个子区间任意取其中一个记为以函数在点的值和小区间长度的积作为积分量的微元；⑵无限求和：定义在区间上的积分量是所有微元的总和，即利用微元法可以计算很多如几何的、物理的或其它方面的无限可加量的求和问题。二、平面图形的面积1.在直角坐标中计算【例题】求由抛物线，横轴及直线所围成的图形面积解：函数方程为面积微元为故【例题】计算由两条抛物线和所围成的图形面积.解：解出两条抛物线和的交点坐标为原点和点，图形定义于区间上在垂直于轴的方向上，取区间上任一子区间,在此子区间上对应的面积元素

3、为：（见图示）——面积元因此，两条抛物线所围成的图形面积为类似的，若将所求面积的图形看作定义于到区间内，由曲线所围成，则任取子区间它所对应的面积元素两条抛物线所围成的图形面积为：一般说来，如果平面图形由曲线和及直线所围成,在区间内任取子区间，它所对应的面积元素图形面积为如果平面图形是由曲线和直线所围成（意味着是自变量，是函数），在区间内任取子区间它所对应的面积元素图形面积【例题】计算被抛物线与直线所围成的图形面积.解：抛物线与直线的两个交点分别是如果分割的变化区间,在其中任取子区间它所对应的面积元素图形面积如果分割的变化区间在其中任取子区间此时，它所对应的

4、面积元素需要分段表达：在区间为在区间为解：面积元为【例题】求椭圆所围图形的面积。令原式【例题】⑴求椭圆所围成的图形面积。解：图形关于两坐标轴都对称⑵求星形线所围成的图形面积。图形关于两坐标轴都对称解：⑶求旋轮线,之一拱与所围成的图形面积。解：2.在极坐标中计算极坐标：如图示，以极径和极角来确定平面上点的坐标，记为极坐标与直角坐标的关系为如果曲线由极坐标方程给出，这条曲线与从原点出发的两条射线围成一个曲边扇形。在极角的变化区间内任取一个微小的子区间，它所对应的微小曲边扇形就是极坐标中的面积元素，即曲边扇形面积由定积分给出：【例题】计算Archimedes螺线

5、上一段弧与极轴所围成的图形面积。解：取极角为积分变量，螺线内的面积元素图形面积【例题】计算心形线所围成的图形面积并求心形线与圆交集的面积。解：心形线围成图形的面积心形线与圆交集的面积三、体积1.旋转体的体积一个平面图形绕此平面内一条直线旋转一周而形成的立体称为旋转体，这条直线称为旋转轴。圆柱（圆盘）、圆锥、球体等都是最简单的旋转体，计算旋转体的体积的方法有“切片”法和圆柱薄壳法⑴“切片”法由曲线和直线，，所围成的曲边梯形绕轴旋转一周形成的旋转体被垂直于轴诸多平行平面所分割，成为很多纵切片。在子区间上的窄曲边梯形所生成的半径为的薄圆盘形切片就是旋转体的体积微

6、元。旋转体的体积微元旋转体的体积为如果旋转体是由曲线和直线所围成的曲边梯形绕轴旋转一周形成的，它被垂直于轴的诸多平行平面所分割，成为很多横切片。此旋转体体积为体积微元为【例题】求上下底面半径分别为高为的圆台体积。解：把圆台看作一个直角梯形（如图所示）绕轴旋转一周形成的。梯形斜边的方程为圆台体积讨论：若，上式给出底半径为高为的圆锥体积。【例题】计算由椭圆分别绕轴旋转形成的旋转椭球体积。解：椭圆绕轴旋转形成椭球体积椭圆绕轴旋转形成椭球体积讨论：若，得半径为的球体体积⑵圆柱薄壳法旋转体也可以看作一系列半径连续变化、柱高也连续变化的同轴圆柱薄壳形成。如圆柱体可以看

7、成是由一系列半径不同的同轴薄圆筒叠加构成(类似于洋葱),每一层都可以看成是一个体积元——圆柱薄壳法.如果是图示曲顶圆柱体，也可以将其看成半径不同，且高度也不同的圆柱形薄圆壳组成。如图所示曲边梯形面积绕轴旋转所形成的立体体积也是旋转体。如果以轴为旋转轴，圆柱薄壳体积元为式中是圆柱薄壳底的周长，是圆柱形薄壳的高度，是薄壳的厚度.【例题】求圆绕轴旋转所成旋转体的体积。解：①圆柱薄壳法取圆柱薄壳体积元，薄壳底的周长。柱高:壳厚，薄壳体元旋转体体积令式中②切片法旋转体被垂直于轴诸多平行平面所分割，成为很多圆环状横切片，其体积元为旋转体体积令2.平行截面面积为已知的立

8、体体积如果已知一个立体内垂直于一条定轴（例如轴）的各个截面的面积与