《定积分应用》PPT课件(I)

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1、1.积分上限函数2.积分上限函数的导数3.微积分基本公式牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．称之为微积分基本公式。注意使用公式的条件（1）被积函数f(x)连续（2）F（x）是f(x)在该区间上的任一原函数12.16课堂回顾定积分的换元法1、使用定积分的换元法时要注意积分限的对应2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变量记号，积分限跟着变12.16课堂回顾定积分的分部积分公式注意u、v的选择，容易积分的选为v，求导简单的选为u3.4定积分应用前面，已经系统地介绍了定积分的基本理论和计算方法。在这一节中，将利用这些知识来

2、分析解决一些实际问题。定积分的应用很广泛，在自然科学和生产实践中有许多实际问题最后都归结为定积分问题。本节不仅对一些几何物理量导出计算公式，更重要的是介绍运用“微元法”将所求的量归结为计算某个定积分的分析方法。重点微元法，面积，旋转体的体积微元法，参数方程确定的曲线所围的面积，定积分在物理方面的应用。基本要求①正确理解和掌握微元法的基本思想，并会灵活运用它。②会用直角坐标、极坐标、参数方程所给出的三种求积公式求出一些常见图形的面积。③会求旋转体的体积④会用定积分解决物理方面的实际问题难点通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路

3、程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？我们先来回顾一下前面讲过的方法和步骤是必要的。定积分的微元法求Ｕ的步骤分用分点将区间分成n个小区间粗把Ｕ在小区间上的局部量用某个函数f(x)在的值与之积代替和把局部量的近似值累加得到总量的近似值即设量Ｕ非均匀地分布[a,b]上由此可知，若某个非均匀量Ｕ在区间[a,b]上满足两个条件：（1）总量在区间上具有可加性，即把区间分成几个小区间时总

4、量就等于各个小区间上的局部量之和，（2）局部量可用近似表示它们之间只相差一个的高阶无穷小不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得精分析其实质，不难将四步简化为两步第一步“分割取近似”含“分”、“粗”两步即将区间分成子区间在其上用均匀变化近似代替非均匀变化求得局部量的近似值它对应着积分表达式中的被积式第二步“求和取极限”含“和”、“精”两步:各局部量的近似值相加并取极限得到总量的准确值这是建立所求量的积分式的基本方法即对被积式作积分Ⅰ求微元写出典型小区间上的局部量的近似值这就是局部量的微元Ⅱ求积分即把微元在区间[a,b]上相当于把作积分表达式求它在

5、[a,b]上的定积分即这就是微元法“无限积累”起来定积分的几何应用一、平面图形的面积1直角坐标系作为一般情况讨论，设平面图形由[a,b]上连续的两条曲线y=f(x)与y=g(x)及两条直线x=a,x=b所围成在[a,b]上任取典型小区间[x,x+dx]与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量dAdA可用高为底为dx的矩形面积近似表示即故ab当dx很小时所围成的图形的面积解为确定图形的存在区间由联立方程组解得交点A（-1，1）B（1，1）故例1求两曲线所围图形的面积解首先定出图形所在的范围解得交点为（2，-2）和（8，4）若取x为积分变量在[

6、x,x+dx]上取部分量则对于x的不同值局部量的位置不同其上、下曲边有多种情况运用上述公式计算较为复杂如下图例2计算以y为变量计算将会简单在[-2,4]上任取一小区间其上相应的窄条左、右曲边分别为但若将这一面积看作是分布在区间[-2，4]上由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使计算简化上述问题的一般情况是平面区域由[c,d]上连续的曲线及直线y=c,y=d所围成则其面积为cd当直角坐标系下的平面区域的边界曲线由参数方程的形式给出时，只须对面积计算公式作变量代换即可。计算时应注意积分限在换元中

7、应保持与原积分限相对应。例3求椭圆的面积解由对称性面积A等于椭圆在第一象限内的部分的面积的4倍即2极坐标系某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的若曲线由极坐标方程给出极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形而是由射线所围成的称为曲边扇形的区域可用半径为圆心角为由于曲边扇形的面积分布故面积元素为的圆扇形的面积来近似解利用对称性知通过以上几例可见在实际计算中应充分利用所求量的对称性和等量关系来简化计算。旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、旋转体的体积旋转体的体积为xyo所围成的曲

8、边梯形绕y轴旋转一周所成的立体的体积为类似地，由连续曲线解解注解如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积三、平行截面面积为已知的立