《定积分概念》PPT课件(I)

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1、f(x)dxF(x)C基本积分表(1)kdxkxC(k是常数);1x(2)xdxC(1);1dx(3)ln

2、x

3、Cx1(4)2dxarctanxC;arccotxC;1x1(5)dxarcsinxC;arccosxC;21x(6)cosxdxsinxC;(7)sinxdxcosxC;dx(8)2tanxC;2secxdxcosxdx2(9)2cscxdxcotxC;sinx(10)secxtanxdx

4、secxC;(11)cscxcotxdxcscxC;xx(12)edxeC;xxa(13)adxC;lna(16)tanxdxlncosxC;(17)cotxdxlnsinxC;(18)secxdxlnsecxtanxC;(19)cscxdxlncscxcotxC;11x(20)dxarctanC;22axaa11xa(21)dxlnC;22xa2axa11ax(22)dxlnC;22ax2aax1x(23)22dxar

5、csinC;axa122(24)dxlnxxaC.22xa注2.其应用步骤：第一换元变形法h(x)dxf((x))(x)dx凑微分f((x))d(x)换元f(u)duu(x)可查F(u)C变量还原F((x))C第一换元积分公式的关键在于:将待求不定积分的被积函数凑成两部分的乘积,一部分是某已知函数(x)的复合函数f[(x)],另一部分是与(x)的导数(x)相关的函数.注2：第二换元法的应用步骤：x(t)f(x)dxf[(t)]d(t)1F

6、(t)C=F[(x)]Cudvuvvdu.分部积分公式第六章定积分前一章讨论了已知一个函数的导数,如何求原来的函数,这样一个积分学的基本问题——不定积分.这一章将讨论积分学的另一个基本问题——定积分.本章的主要问题有:1.什么是定积分?1cosxdx?02.定积分有哪些性质?3.定积分与不定积分有何关系?4.如何计算定积分和应用定积分?第六章定积分§6.1定积分的概念与性质§6.2微积分基本定理——定积分与不定积分的关系bf(x)dx?a§6.3定积分计算方法§6.4定积分的应用§6.

7、5广义积分初步§6.1定积分的概念与性质一、定积分概念的引入---曲边梯形的面积曲边梯形的概念:由连续曲线y=f(x)，直线x=a，直线x=b以及x轴围成的平面图形AabB叫曲边梯形.y直线图形---三角形,矩形,梯形;y=f(x)特殊曲线图形---圆,扇形;B问题:当y=ƒ(x)0时,曲边梯形AabB的面积怎么求呢?A则为矩形面积s=c(b-a)Oabxy但y=f(x)一般不为常数，因ƒ(x)连续,y=f(x)从而在[a,b]的一个小区间上,当Δx→0时,Δy→0,故可将此区间的高CΔyH近似看为一个常

8、量,D从而此区间对应的小窄曲边梯形EFCEFH的面积近似等于小窄矩形Oaxx+ΔxbxDEFH的面积.因而,如果把区间[a,b]任意地划分为n个小区间,并在每一个区间上任取一点,再以该点的高来近似代替该小区间上窄曲边梯形的高,从而每个窄曲边梯形就可近似地视为一个小窄矩形,而且全部窄矩形的面积之和也可作为曲边梯形面积的近似值.yy=f(x)要想得精确值,只需区间[a,b]的分法无限细密(即每个小C区间的长度Δx→0)时,全部窄ΔyHD矩形的面积之和的极限一定是曲边梯形面积的精确值.EFOaxx+Δxbx从而可

9、用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:I.分割(或化整为零)——任意划分y(如右图)用分点y=ƒ(x)axxxxxb012n1n将区间[a,b]任意地划分为n个小区间Aixbxn[x,x],[x,x],,[x,x],o...2....0112n1nax0xxi1xixn1x1xi其长度记为xxxiii1过各分点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个小曲边梯形.其面积记为Ai1,2,n.于是，大的曲边梯形的面积A为iAAAAA.12inII

10、.近似求和（以直代曲）----任意取点在每个小区间[xi1,xi](i1,2,,n)上任取一点i(xx),以f()为高、以小区间[x,x]的长度为底i1iiii1i作窄矩形.则该窄矩形的面积f(i)xi近似等于A,即if()xAiiiyy=ƒ(x)f()iAiioxi1xixxiyy=ƒ(x)Aifixixi1ixiAixbxn...2.