《定积分5应用》PPT课件

《《定积分5应用》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四节定积分的应用二平面图形的面积三立体的体积四平面曲线的弧长一定积分的元素法五旋转曲面的面积()do+dr=r()元素法1取极角为积分变量，其变化区间为[,]以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到面积元素：..曲边扇形的面积dAA3作定积分.r极坐标系情形例4.求如图所示区域D的面积，解:圆弧ABCO的极坐标方程：例5.解:图形与y轴对称，只需求右半部分，解方程组练习.计算心形线所围图形的面积.解:(利用对称性)2a练习.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,所求面积设立体在x轴上的投影区间为[a

2、,b],立体内垂直于x轴的截面面积为A(x).立体的体积元素为三求立体体积------平行截面面积为已知的立体的体积A(x)dx.xA(x)dV=A(x)dxx.aVboyRxxy–RR....ytan(x,y),截面积A(x).例1半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔,求其体积。.三、求立体的体积----旋转体的体积xf(x)ab曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕x轴旋转一周，求所产生的旋转体的体积。y连续曲线段的立体体积时,则对应于小区间有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围

3、成的立体体积时,有旋转一周围成的体积元素为例2.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则(利用对称性)方法2利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积例3.练习.求圆绕y轴旋转而成的旋转体的体积.yxo312-2解.所求体积为:四、平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的,且其长为S.注:任意光滑曲线弧都是可求长的.则称(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(

4、弧微分):因此所求弧长(P243)(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):(自己验证,P243)例4求摆线xa(sin),ya(1cos)的一拱(02)的长度.解于是所求弧长为弧长元素为例5.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:(P301公式29)练习：p-250习题5-46,11,16,21,24,26五、旋转曲面的面积设母线y=f(x)是[a,b]上的一条光滑的曲线,此曲线绕x轴旋转一周而成旋转曲面,则此旋

5、转曲面的面积为(P245)例6解例6解练习.计算由椭圆绕x轴旋转,求所成曲面的面积.解:椭圆的参数方程则内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程直角坐标方程2.已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕x轴:绕y轴:3.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程4.旋转曲面的面积面积微元:hRxoy–R例11求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积.(P251-11)hRxoxA(x)A(x)V=....–Ry.y例11求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直

6、径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积.(P251-11)