优化设计的基本术语和数学模型（new）课件.ppt

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1、第二章基本术语和数学模型2.1引言2.2优化设计的基本术语2.3优化设计的数学模型及其分类2.4优化设计模型的几何解释2.5优化计算方法概述2.1引言优化设计是一种格式化的计算方法，对于各式各样的设计问题，都必须按照规定格式的要求建立优化设计的数学模型。对于任何一个设计问题，若能回答如下几个问题，则从严格意义上说都可以认为它是一个优化设计问题：（1）用哪些参数可以描述它的设计方案？（2）用什么判据来衡量“最优设计方案”？（3）在什么样的条件下才能获得工程可应用的设计方案？例2-1有一个螺旋压缩弹簧

2、，已知轴向作用载荷为F，弹簧材料力学的切变模量为G，许用切应力为[τ]，弹簧的非工作圈数为n2，轴向变形量为δ，试设计这个弹簧使其体积最小。已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒用料最省。分析：（1）箱盒的表面积的表达式；（2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3；（3）设计约束条件：（a）体积要求；（b）长度要求；x1x2x3箱盒的优化设计数学模型设计参数：设计目标：约束条件：优化设计问题包括：（1）有描述设计方案的一组设计参数；

3、（2）有一个或几个优化的判据，且是设计参数的标量函数；（3）有一组表示可接受设计方案的限制条件，且也是全部或几个设计参数的标量函数。2.2优化设计的标准术语2.2.1设计变量给定参数（设计常数）：在优化计算过程中始终保持不变的参数。设计变量：需要优选的，数值在优化计算过程中是变化的参数。由n个设计变量为坐标所组成的实空间称作设计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一点表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题。按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量（例如

4、轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。欧氏空间（a）二维设计问题（b）三维设计问题只有两个设计变量的二维设计问题可用图（a）所示的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题可用图（b）所表示的空间直角坐标表示。设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。小型设计问题：一般含有2—10个设计变量；中型设计问题：10—50个设计变量；大型设计问题：50个以上的设计变量。目前已能解决200个设计变量的大型

5、最优化设计问题。如何选定设计变量？任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点：（1）抓主要，舍次要。对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢丝直径d，弹簧中径D，工作圈数n和自由高度H。在设计中，将材料的许用剪切应力和剪切模量Ｇ等作为设

6、计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径D作为设计常量。2.2.2目标函数在优化过程中，通过设计变量的不断向f(x)值改善的方向自动调整，最后求得f(x)值最好或最满意的x值。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变量必须包含在约束函数中。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为

7、目标函数，以f(X)表示。在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系。本书中为了算法和程序的统一，最优化就是指最小化。目标函数等值（线）面目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空间

8、中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。目标函数的等值面（线）数学表达式为：c为一系列常数，代表一族n维超曲面。如在二维设计空间中，f(x1,x2)=c代表x-x设计平面上的一族曲线。对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。等值线图表示目标函数f（X）与两个设计变量x1，x2阶所构成的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设计点所构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的等值线，它们构