非线性最优化模型课件.ppt

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1、第八章非线性最优化模型许多商业过程都以非线性方式运行。例如，一个债券的价格是利率的非线性函数，一个优先购股权的价格是优先股票价格的非线性函数。生产的边际成本常常随着生产数量的增加而减少，一个产品的需求数量常常是价格的非线性函数。这些和其他的许多非线性关系出现在各种商业应用中。非线性最优化问题是在目标函数或约束条件中至少有一项是非线性的最优化问题。我们考虑一个目标函数是决策变量的非线性函数的生产问题，以此来开始这一章非线性应用的研究。在第8..2节中，我们建立了一个关于设计有价证券的投资组合来跟踪股票市场指数的非线性应用。在第8.3节中，我们引入了曾获得诺贝尔

2、奖的Markowitz模型，其用于管理风险和回报间的平衡，并由此扩展了投资组合模型的处理。第8.4节提供了在第4章中介绍的线性规划混合模型的一个非线性应用。在第8.5节，我们介绍了一个用于预测新产品销售或采纳的著名且成功的模型。作为对非线性最优化应用在实践中更进一步的说明，实践中的管理科学《为BombardierFlexjet安排航程和全体人员》，讨论了Flexjet如何应用非线性最优化来分配飞机和人员。在本章中介绍的计算机解是利用LINGO得到的。然而，Excel规划求解也能用来求解这些问题。本章后的附录描述了如何用LINGO和Excel规划求解来求解非线

3、性规划。专栏8-1实践中的管理科学为BombardierFlexjet安排航程和全体人员BombardierFlexjet是一家发展迅速的支线飞机行业的领导性公司。Flexjet以每年飞行50小时的限制销售商务喷气飞机的使用权。拥有部分所有权的公司被保证能在24小时以内低至4小时的提前使用飞机。这类使用飞机的公司每月需支付管理费和使用费。为所收取的管理费，Flexjet会为购买使用权的公司提供飞机棚设备、维修以及空勤人员。由于支线飞机行业上的灵活性，安排空勤人员和航程的问题甚至比商务航空行业还复杂。最初，Flexjet试图用人工来安排飞行。然而，这项任务很快

4、被证明是不可行的。事实上，不适当的手工安排致使Flexjet供养着多余的商务喷气飞机和空勤人员。多余的商务喷气飞机和空勤人员的成本估计为每飞行时数几百美元。一个利用最优化原理的排程系统变得非常必要了。为Flexjet开发的排程系统包括一个大型的非线性最优化模型,该模型整合了Flexjet职工使用的图形用户界面（GUI）。模型包含了基于联邦飞行管理局（FAA）规章、公司制度以及飞机性能特征的“硬性”约束条件，也包含了关于成本权衡的“软性”约束条件。这个模型用来为航程分派飞机和空勤人员。最后的模型很大，不能用商用最优化软件模型来直接求解。拥有太多直接求解的变量的

5、模型。常常使用分解法来求解。分解法采用只包含全部变量的一小部分的主要问题来求解。通过子问题确定的解是部分最优解优质的候选者。在Flexjet模型中，子问题是非线性整数规划。非线性的中心是一个二维变量和一个连续变量的乘积，如果一段航程被使用，这个二维变量即为1，这个连续变量用于给飞行时间加上时间窗。子问题使用称为动态规划的技术来优化。最优化模型获得了很大成功。模型最初为Flexjet节约了5400万美元，而计划的年节约为2700万美元。节约成本的大部分来自于减少20%的人员和40%的飞机库存。飞机使用率也增加了10%。资料来源：基于RichardHickset

6、al.,”BombardierFlexjetSignificantlyImprovesItsFractionalAircraftOwnershipOperationsInterfaces35,no.(January/February2005):49-608.1一个生产应用——对Par公司的再思考通过考虑第2章介绍的Par公司线性规划的扩展，我们来介绍受约束和无约束的非线性最优化问题。我们首先考虑价格和销售数量间关系造成目标函数非线性的情形。接着求解得到无约束非线性规划，并且我们观察到无约束最优解不能满足生产约束条件。把生产约束条件添加到问题中去，我们给出了一

7、个受约束非线性规划的形式和解。在这一部分的最后，我们还讨论了局部和整体的最优化。8.1.1一个无约束问题让我们考虑修改后的第2章中的Par公司问题。记得Par公司决定制造标准的和豪华的高尔夫包。在为Par公司问题构建线性规划模型时，我们假定它可以销售它所生产的所有标准包和豪华包。但是，依赖于高尔夫包的价格，这个假设可能不成立。价格和需求间常常存在一个相反的关系。随着价格升高，需求数量却下降。令Ps记作Par公司每种标准包的价格，PD记作每种豪华包的价格。假定标准包S的需求和豪华包D的需求由如下式给出：S=2250-15Ps(8-1)D=1500-5PD(8-

8、2)标准包产生的收益是每个标准包价格Ps乘以售出的标