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时间:2020-07-25
《高等数学1-5 极限的运算法则课件.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、无穷小的性质极限的四则运算法则极限运算法则复合函数的极限运算法则1证明设及是当xx0时的两个无穷小则010当0
2、xx0
3、1时有
4、
5、20当0
6、xx0
7、2时有
8、
9、取min{12}则当0
10、xx0
11、时有这说明也是当xx0时的无穷小
12、
13、
14、
15、
16、
17、2定理1有限个无穷小的和也是无穷小无穷小的性质仅就两个xx0时的无穷小情形证明举例:当x0时x与sinx都是无穷小所以xsinx也是当x0时的无穷小2设函数u在x0的某一去心
18、邻域{x
19、0
20、xx0
21、1}内有界即M0使当0
22、xx0
23、1时有
24、u
25、M又设是当xx0时的无穷小即0存在20使当0
26、xx0
27、2时有
28、
29、取min{12}则当0
30、xx0
31、时有
32、u
33、
34、u
35、
36、
37、M这说明u也是当xx0时的无穷小证明定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小定理1有限个无穷小的和也是无穷小无穷小的性质3举例:推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小定理1有限个无穷小的和也是无穷小无穷小的性质推
38、论1常数与无穷小的乘积是无穷小4(2)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB>>>推论1如果limf(x)存在而c为常数则lim[cf(x)]=climf(x)推论2如果limf(x)存在而n是正整数则lim[f(x)]n=[limf(x)]n定理3如果limf(x)=Alimg(x)=B那么极限的四则运算法则(1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB5求极限举例讨论提示例1解例2解6解例3解例4根据无穷大与无穷小的关系得因为7讨论提示当Q(x0)P(
39、x0)0时约去分子分母的公因式(xx0)8先用x3去除分子及分母然后取极限解先用x3去除分子及分母然后取极限例5解:例69讨论提示例7解所以10解例8解例9计算11解当x时分子及分母的极限都不存在故关于商的极限的运算法则不能应用例10是无穷小与有界函数的乘积12定理(复合函数的极限运算法则)说明设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义若g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)u0则把定理中g
40、(x)u0(xx0)换成g(x)(xx0或x)而把f(u)A(uu0)换成f(u)A(u)可得类似结果13定理(复合函数的极限运算法则)例11解设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义若g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)u0则14作业习题1.2(P44):14.15.双号16.17.15因为limf(x)=Alimg(x)=B根据极限与无穷小的关系有f(x)=A+ag(x)=B
41、+b其中a及b为无穷小如果limf(x)Alimg(x)B那么lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB证明即f(x)g(x)可表示为常数AB与无穷小Ab+aB+ab之和再根据极限与无穷小的关系得lim[f(x)g(x)]=AB于是f(x)g(x)=(A+a)(B+b)=AB+Ab+aB+ab16
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