高等数学1-5 极限的运算法则课件.ppt

《高等数学1-5 极限的运算法则课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、无穷小的性质极限的四则运算法则极限运算法则复合函数的极限运算法则1证明设及是当xx0时的两个无穷小则010当0

2、xx0

3、1时有

4、

5、20当0

6、xx0

7、2时有

8、

9、取min{12}则当0

10、xx0

11、时有这说明也是当xx0时的无穷小

12、

13、

14、

15、

16、

17、2定理1有限个无穷小的和也是无穷小无穷小的性质仅就两个xx0时的无穷小情形证明举例:当x0时x与sinx都是无穷小所以xsinx也是当x0时的无穷小2设函数u在x0的某一去心

18、邻域{x

19、0

20、xx0

21、1}内有界即M0使当0

22、xx0

23、1时有

24、u

25、M又设是当xx0时的无穷小即0存在20使当0

26、xx0

27、2时有

28、

29、取min{12}则当0

30、xx0

31、时有

32、u

33、

34、u

35、

36、

37、M这说明u也是当xx0时的无穷小证明定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小定理1有限个无穷小的和也是无穷小无穷小的性质3举例:推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小定理1有限个无穷小的和也是无穷小无穷小的性质推

38、论1常数与无穷小的乘积是无穷小4(2)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB>>>推论1如果limf(x)存在而c为常数则lim[cf(x)]=climf(x)推论2如果limf(x)存在而n是正整数则lim[f(x)]n=[limf(x)]n定理3如果limf(x)=Alimg(x)=B那么极限的四则运算法则(1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB5求极限举例讨论提示例1解例2解6解例3解例4根据无穷大与无穷小的关系得因为7讨论提示当Q(x0)P(

39、x0)0时约去分子分母的公因式(xx0)8先用x3去除分子及分母然后取极限解先用x3去除分子及分母然后取极限例5解:例69讨论提示例7解所以10解例8解例9计算11解当x时分子及分母的极限都不存在故关于商的极限的运算法则不能应用例10是无穷小与有界函数的乘积12定理(复合函数的极限运算法则)说明设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义若g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)u0则把定理中g

40、(x)u0(xx0)换成g(x)(xx0或x)而把f(u)A(uu0)换成f(u)A(u)可得类似结果13定理(复合函数的极限运算法则)例11解设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义若g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)u0则14作业习题1.2(P44):14.15.双号16.17.15因为limf(x)=Alimg(x)=B根据极限与无穷小的关系有f(x)=A+ag(x)=B

41、+b其中a及b为无穷小如果limf(x)Alimg(x)B那么lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB证明即f(x)g(x)可表示为常数AB与无穷小Ab+aB+ab之和再根据极限与无穷小的关系得lim[f(x)g(x)]=AB于是f(x)g(x)=(A+a)(B+b)=AB+Ab+aB+ab16