高等数学(同济第六版)课件 第三章 7.曲率.ppt

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1、第七节曲率设f(x)在(a,b)内有连续导数，在曲线y=f(x)上取基点A(x0,y0),点M(x,y)为曲线上任一点;记弧AM的长度为d，规定：曲线正向与x增大的方向一致。弧AM的值弧AM的值s为x的函数：s=s(x)单调增函数一、弧微分弧微分公式弧微分的几何解释如何描述曲线的弯曲程度?)转角越大弯曲越大弧段越短弯曲越大1.曲率的定义)可用一个与转角成正比与弧长成反比的量来描述曲线的弯曲程度。二、曲率及其计算公式C上的点，MN的弧长为定义：设曲线C是光滑的，M0为基点，M,N为曲线yxoM与N点切线的夹角为称为曲线段MN的平均曲率；称为曲线C在点M处的曲率。2.曲率的计算

2、公式设y=f(x)二阶可导，设其中，二阶可导，且则注:(1)直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数.(1)y=c,则(2)半径为a的圆,则例1曲线上哪一点的曲率最大？解显然,当时，k最大。以D为圆心，为半径作圆，定义设曲线y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为k在点M处的曲线的法线上，在凹的一侧上取一点D，使称此圆为曲线在点M处的曲率圆。三、曲率圆与曲率半径D—曲率中心，—曲率半径，1.曲线上一点的曲率半径与曲线在注:2.曲线上一点的曲率半径越大,该点的曲率互为倒数.曲线在该点的曲率半径越小,曲率越小(曲线越平坦);曲率越大(曲线越弯曲).小结1.弧微分：

3、2.曲率：（1）平均曲率：（2）曲线上一点的曲率：3.曲率的计算：4.曲率圆、曲率中心、曲率半径。练习1.曲线y=lnx上点(1,0)点的曲率为_____2.设其中，导数连续，则弧微分3.凑微分微分公式对任意常数k，有：无论x是自变量还是中间变量均成立。微分表(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)凑微分