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1、第二章导数与微分微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学是微积分的重要组成部分,它的基本概念是:导数思想最早由法国数学家Fermat在研究极值问题时提出的.英国数学家Newton导数与微分一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数§2.1导数的概念第二章一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为2.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT割线MN的斜率求切线MT的斜率切线MT的斜率二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即
2、则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.若上述极限不存在,在点不可导.若也称在就说函数的导数为无穷大.例1.设存在,求极限解:原式三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若切线与x轴平行,若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:时,切线方程:x=x0;法线方程:y=y0.时,切线方程:y=y0;法线方程:x=x0.若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:就称函数在I内可导.例2.求函数(C为常数)的导数.解:即例3.求函数解:说明：对一般幂函数(为常数)例如，例4.求函数的导数.解:则即类似可证得例
3、5.求函数的导数.解:即四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.即在点的某个右邻域内五、单侧导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作即(左)(左)定义2.设函数有定义,存在,定理2.存在在点处右导数存在定理3.函数在点必右连续.(左)(左)若函数与都存在,则称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间内可导,在闭区间上可导.且例如,在x=0处有不存在例6.求下列函数点导数。解:不存在。试确定常数a,b使f(x)处处可导,并求解:据题
4、意得,即例7.(常有极限表示的函数)1,内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;作业习题2-16,11,16,17,18例1.设存在,求解:原式=导数定义综合练习例2.若且存在,求解:原式=联想到凑f(x)在x=1处导数的定义式例3.设在处连续,且求解:否则或直接求出在的某邻域内有定义,则f(x)在x=a处可导充要条件是下列四个极限中的[ ]存在.例4.D(A)仅保证右导数存在(B)(C)
5、看函数解:在的某邻域内有定义,且f(0)=0,则f(x)在x=0处可导充要条件是下列四个极限中的[]存在.例5.不需要存在极限只要…有界即可原式=原式=解:看反例上述极限为零,但函数在x=0处不可导B所以选则当然在做本题时,显然B是正确的,其他选项不必考虑.
