平面向量的数量积及平面向量的应用举例ppt课件.ppt

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1、第三节平面向量的数量积及平面向量的应用举例1.两个向量的夹角(1)定义已知两个______向量a和b，作(2)范围向量夹角q的范围是______________，a与b同向时，夹角q=______；a与b反向时，夹角q=______(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是______，则a与b垂直，记作______.则∠AOB=q叫做向量a与b的夹角．0°≤q≤180°0°180°.90°a⊥b非零基础梳理

2、a

3、

4、b

5、cosθ

6、a

7、

8、b

9、cosθ2.平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b

10、,它们的夹角为θ,把数量叫做a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=,并规定零向量与任一向量的数量积为.0

11、a

12、cosθ(2)a在b方向上的投影设θ为两个非零向量a,b的夹角，则叫做a在b方向上的投影.b在a方向上的投影（3）a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度

13、a

14、与

15、b

16、cosθ的乘积.

17、a

18、cosθ0

19、a

20、

21、b

22、3.向量的数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=.(2)a⊥ba·b=.(3)当a与b同向时,a·b=.当a与b反

23、向时,a·b=.特别地:a·a=a2=

24、a

25、2或

26、a

27、=.(4)

28、a·b

29、

30、a

31、

32、b

33、.(5)cos〈a,b〉=.-

34、a

35、

36、b

37、≤b·aa·(λb)λ(a·b)4.向量数量积的运算律(1)a·b=(交换律);(2)(λa)·b==(数乘结合律);(3)(a+b)·c=(分配律).a·c+b·c联系向量问题向量运算几何关系x1x2+y1y2x1x2+y1y2=05.平面向量数量积的坐标表示a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)a·b=；(2)

38、a

39、=,

40、b

41、=;(3)a⊥b;(4)若a与b夹角为θ,则

42、cosθ=(5)若A(x1,y1)，B（x2,y2）,则A、B两点间的距离为

43、AB

44、=.6.平面向量在平面几何中的应用用向量方法解决几何问题一般分四步:(1)选好基向量；(2)建立平面几何与向量的,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为;(3)通过研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(4)把运算结果“翻译”成.3.（2011·嘉兴模拟）向量a的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为.基础达标1.（教材改编题）边长为2的等边三角形ABC中，AB·BC的值为.2.（教材改编

45、题）设向量a=(4,5)，b=(-1,0),则向量a+b与a-b的夹角的余弦值为.-21.解析：2.解析：a＋b＝(3,5)，a－b＝(5,5)，cos〈a＋b，a－b〉＝4.如图，在平行四边形ABCD中，AC=(1,2)，BD=(-3,2),则AD·AC=.33.解析：a在x轴上的投影为

46、a

47、cos150°＝10×＝.4.解析：令则⇒a＝(2,0)，b＝(－1,2)，所以＝b·(a＋b)＝3.5.(教材改编题)已知a=(1,6),b=(2,k),若a∥b,k=;若a⊥b，则k=.1213-解析：若a∥b，则

48、1×k－6×2＝0，∴k＝12.若a⊥b，则a·b＝0，∴1×2＋6×k＝0，∴k＝.13-经典例题题型一平面向量的数量积【例1】已知a,b是非零向量.（1）若a⊥b，判断函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)的奇偶性；（2）若f(x)为奇函数，证明：a⊥b.解：（1）f(x)=x2a·b+(b2-a2)x-a·b,∵a⊥b,∴a·b=0，∴f(x)=(b2-a2)x.①当

49、a

50、≠

51、b

52、时，f(x)为奇函数；②当

53、a

54、=

55、b

56、时，f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f

57、(x)对于x∈R恒成立，所以f(0)=0,即-a·b=0,又a,b是非零向量，故a⊥b.变式1-1已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-1),且f(x)=a·b，求f(x)的最大值.解：f(x)=a·b=cosx-sinx=2（cosx-sinx）,f(x)=2sin（-x）,∴f(x)max=2.题型二模与垂直问题【例2】(1)(2011×衡阳模拟)在直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，在△ABC中，=i-2j，=2i+j，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.钝角三

58、角形C.等腰直角三角形D.等边三角形(2)(2010×广东改编)已知向量a=(1,1)，b=(2,5)，c=(3，x)．①若

59、2a+b-c

60、=1，求实数x的值；②若(8a-b)⊥c，求实数x的值．解(1)∵∴即AB⊥AC，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，故选C.(2)①∵2a+b-c=2(1,1)+(2,5)-(3，x)=(1,7-x)．又∵

61、2a+b-c

62、=1，∴=1，∴(7-x)2=0，